插值与拟和 本文简介：
1.一维插值对表格给出的函数，求出没有给出的函数值。在实际工作中，经常会遇到插值问题。例1：表1是待加工零件下轮廓线的一组数据，现需要得到x坐标每改变0.1时所对应的y的坐标.x035791112131415y01.21.72.02.12.01.81.21.01.6下面是关于插值的两条命令(专门用来
插值与拟和 本文内容：
1.
一维插值
对表格给出的函数，求出没有给出的函数值。
在实际工作中，经常会遇到插值问题。
例1：表1是待加工零件下轮廓线的一组数据，现需要得到x坐标每改变0.1时所对应的y的坐标.
x
0
3
5
7
9
11
12
13
14
15
y
0
1.2
1.7
2.0
2.1
2.0
1.8
1.2
1.0
1.6
下面是关于插值的两条命令(专门用来解决这类问题)：
y=interp1(x0,y0,x)???????
分段线性插值
y=spline(x0,y0,x)????????
三次样条插值
其中x0,y0是已知的节点坐标，是同维向量。y对应于x处的插值。y与x是同维向量。
解决上述问题,我们可分两步:
一
用原始数据绘图作为选用插值方法的参考.
二
确定插值方法进行插值计算
对于上述问题,可键入以下的命令:
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]";
y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]"
plot(x0,y0)??????????
%完成第一步工作
x=0:0.1:15;
y=interp1(x0,y0,x");???
%用分段线性插值完成第二步工作
plot(x,y)
y=spline(x0,y0,x");????
plot(x,y)????????????
%用三次样条插值完成第二步工作
?
练习：对y=1/(1+x2),-5≤x≤5，用n（=11）个节点（等分）作上述两种插值，用m（=21）个插值点（等分）作图，比较结果。
解：键入并运行如下命令
n=11;m=21;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);
xo=-5:10/(n-1):5;yo=1./(1+xo.^2);
y1=interp1(xo,yo,x);
y2=spline(xo,yo,x);
plot(x,y,"r",x,y1,"b",x,y2,"k")
练习：在某处测得海洋不同深度处水温如下：
深度
446
714
950
1422
1634
水温
7.04
4.28
3.40
2.54
2.13
求深度为500、1000、1500米处的水温。
解：输入程序：
D=[446,714,950,1422,1634];
T=[7.04,4.28,3.40,2.54,2.13];
Di=[500,1000,1500];
Ti=interp1(D,T,Di)
MATLAB的命令interp1(X,Y,Xi,’method’)用于一元插值.其中Method可选’nearest’(最近邻插值),’linear’(线性插值),’spline’(三次样条插值),’cubic’(三次多项式插值)
3．曲线拟合
假设一函数g(x)是以表格形式给出的，现要求一函数f(x)，使f(x)在某一准则下与表格函数（数据）最为接近。
由于与插值的提法不同，所以在数学上理论根据不同，解决问题的方法也不同。
此处，我们总假设f(x)是多项式。
例3：弹簧在力F的作用下伸长x厘米。F和x在一定的范围内服从虎克定律。试根据下列数据确定弹性系数k,并给出不服从虎克定律时的近似公式。
x
1
2
4
7
9
12
13
15
17
F
1.5
3.9
6.6
11.7
15.6
18.8
19.6
20.6
21.1
解题思路：可以用一阶多项式拟合求出k，以及近似公式。
在MATLAB中，用以下命令拟合多项式。
polyfit（x0,y0,n）
一般，也需先观察原始数据的图像，然后再确定拟和成什么曲线。
对于上述问题,可键入以下的命令:
x=[1,2,4,7,9,12,13,15,17]";
F=[1.5,3.9,6.6,11.7,15.6,18.8,19.6,20.6,21.1]";
plot(x,F,".")
从图像上我们发现：前5个数据应与直线拟合，后5个数据应与二次曲线拟合。于是
键入???
a=polyfit(x(1:5),F(1:5),1);??????
a=polyfit(x(5:9),F(5:9),2)
得
注意：有时，面对一个实际问题，究竟是用插值还是用拟合不好确定，还需大家在实际中仔细区分。同时，大家（包括学过计算方法的同学）注意去掌握相应的理论知识。
题目
最佳营销策略
问题：某公司有一批以每桶2元购进的彩漆为了获得较高的利润希望以较高的价格卖出但价格越高,售出量就越少,二者之间的关系由表一给出.于是打算用作广告的办法来促销.而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述.例如,投入3万元的广告费,销售因子为1.85,意味着做广告后的销售量将是未做广告销售量的1.85倍.根据经验,广告费与销售因子的关系如表2,现请你作出决策：投入多少广告费和售价为多少时所获得的利润最大?
表1
售价
2．00
2．50
3．00
3．50
4．00
4．50
5．00
5．50
6．00
预期销售量（千桶）
41
38
34
32
29
28
25
22
20
表2
广告费（千元）
0
10
20
30
40
50
60
70
销售增长因子
1．00
1．40
1．70
1．85
1．95
2．00
1．95
1．80
提示
1．用描点法画出预期销售量——售价；销售增长因子——广告费的关系图.
2．建立上述两个函数关系.
3．设x为售价,y为广告费,P为所得利润,建立P关于x和y的函数关系.
4．用多元函数的极值理论计算并回答此问题.
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插值与拟和》
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