2019年中考数学一模试卷有解析与答案 本文简介：
2019年中考数学一模试卷有解析与答案一、选择题（每小题3分,共30分)1．﹣2的相反数是（ ）A．2B．﹣2C．D．﹣2．太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为（ ）A．6.96×103B．69.6×105C．6.96×105D．6.96×1063．下列计算正确
2019年中考数学一模试卷有解析与答案 本文内容：
2019年中考数学一模试卷有解析与答案
一、选择题（每小题3分,共30分)
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．
D．﹣
2．太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．6.96×103B．69.6×105C．6.96×105D．6.96×106
3．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6D．a10÷a5＝a5
4．已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
5．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD，反比例函数y＝
（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A．5
cmB．
πcmC．
πcmD．5πcm
7．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
8．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1B．﹣
≤x≤
C．0≤x≤
D．x＞
9．如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满．在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度h随时间t变化规律的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝
b．你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题3分,共18分)
11．分解因式：2a3﹣8a2+8a＝
．
12．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为
（结果用分数表示）．
13．已知正比例函数y＝﹣4x与反比例函数
的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（x，4），则点B的坐标为
．
14．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为
米．
15．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为
．
16．如图，∠AOB＝45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4…则第一个黑色梯形的面积S1＝
；观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积Sn＝
．
三、解答题（共72分）
17．（5分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中a＝2sin60°﹣tan45°．
18．（6分）关于x的方程，kx2+（k+1）x+
k＝0有两个不等实根．
①求k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
19．（7分）已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM．
20．（7分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球
B．乒乓球C．羽毛球
D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有
人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
21．（8分）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移
个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
22．（8分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BDE＝60°，PD＝
，求PA的长．
23．（9分）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人＝支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？
24．（10分）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是
（填序号即可）
①AF＝AG＝
AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：
．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．
2019年湖北省天门市江汉学校、托市一中、张港初中等五校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分,共30分)
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．
D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
2．太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．6.96×103B．69.6×105C．6.96×105D．6.96×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将696000用科学记数法表示为6.96×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6D．a10÷a5＝a5
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝m2+6m+9，不符合题意；
C、原式＝x3y6，不符合题意；
D、原式＝a5，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有2个小正方体，第，三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+2+1＝7个．
故选：B．
【点评】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
5．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD，反比例函数y＝
（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD＝a，则OC＝3a，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、k的值，此题得解．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
设BD＝a，则OC＝3a．
∵△AOB为边长为6的等边三角形，
∴∠COE＝∠DBF＝60°，OB＝6．
在Rt△COE中，∠COE＝60°，∠CEO＝90°，OC＝3a，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝
a，CE＝
＝
a，
∴点C（
a，
a）．
同理，可求出点D的坐标为（6﹣
a，
a）．
∵反比例函数y＝
（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，
∴k＝
a×
a＝（6﹣
a）×
a，
∴a＝
，k＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，找出点C、D的坐标是解题的关键．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A．5
cmB．
πcmC．
πcmD．5πcm
【分析】根据勾股定理可将AB的长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以AB的长为半径，圆心角为90°的扇形．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝
＝
＝5，
lAB＝
＝
＝
πcm，
故点B所经过的路程为
πcm．
故选：C．
【点评】本题的主要是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化．
7．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
【分析】根据根的判别式的意义得到△＝22﹣4?（﹣a）＝0，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝22﹣4?（﹣a）＝0，
解得a＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1B．﹣
≤x≤
C．0≤x≤
D．x＞
【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，
∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO＝1，∠P′OC＝45°，OP′＝
，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0≤x≤
，
同理点P在点O左侧时，0
∴0≤x≤
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．
9．如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满．在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度h随时间t变化规律的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．
【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短，
故选：A．
【点评】解决本题的关键是根据三个容器的高度相同，粗细不同得到用时的不同．
10．小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝
b．你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣
＝﹣
，
∴3b＝2a，则a＝
b，
∴b＜0，
∵图象与x轴交与y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；
②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故选项②正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴
b﹣b+c＞0，
∴b+2c＞0，故选项③正确；
④抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0，
故选项④错误．
故正确的有3个．
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（每小题3分,共18分)
11．分解因式：2a3﹣8a2+8a＝ 2a（a﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2a3﹣8a2+8a，
＝2a（a2﹣4a+4），
＝2a（a﹣2）2．
故答案为：2a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为
（结果用分数表示）．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，
∴从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为
；
故答案为：
．
【点评】此题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝
．
13．已知正比例函数y＝﹣4x与反比例函数
的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（x，4），则点B的坐标为 （1，﹣4） ．
【分析】首先求出A点坐标，进而将两函数联立得出B点坐标即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝﹣4x与反比例函数
的图象交于A、B两点，点A的坐标为（x，4），
∴4＝﹣4x，
解得：x＝﹣1，
∴xy＝k＝﹣4，
∴y＝
，
则﹣
＝﹣4x，
解得：x1＝1，x2＝﹣1，
当x＝1时，y＝﹣4，
∴点B的坐标为：（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据已知得出A点坐标是解题关键．
14．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 750
米．
【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝30×25＝750（米），
∴AD＝AC?sin45°＝375
（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝750
（米）．
故答案为：750
．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
15．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为
．
【分析】利用勾股定理列式求出AB，根据旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面积求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后根据B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，
∴AB＝
＝
＝3
，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝3，A′B′＝AB＝3
，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝
BO＝
×6＝3，
∴OE＝A′O，
过点O作OF⊥A′B′于F，
S△A′OB′＝
×3
?OF＝
×3×6，
解得OF＝
，
在Rt△EOF中，EF＝
＝
＝
，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×
＝
（等腰三角形三线合一），
∴B′E＝A′B′﹣A′E＝3
﹣
＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
16．如图，∠AOB＝45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4…则第一个黑色梯形的面积S1＝ 4 ；观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积Sn＝ 8n﹣4 ．
【分析】观察图形，发现：黑色梯形的高总是2；根据等腰直角三角形的性质，分别求得黑色梯形的两底和依次是4，12，20，…即依次多8．再进一步根据梯形的面积公式进行计算．
【解答】解：∵∠AOB＝45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
∴S1＝
（1+3）×2＝4；
Sn＝
×2×[4+8（n﹣1）]＝8n﹣4．
【点评】解决此题的关键是能够结合图形，根据等腰直角三角形的性质，找到梯形的上下底的和的规律．
三、解答题（共72分）
17．（5分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中a＝2sin60°﹣tan45°．
【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．
【解答】解：原式＝[
﹣
]?（a﹣1）
＝
?（a﹣1）
＝
当a＝2sin60°﹣tan45°＝2×
﹣1＝
﹣1时，
原式＝
＝
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键，也考查了特殊锐角的三角函数值．
18．（6分）关于x的方程，kx2+（k+1）x+
k＝0有两个不等实根．
①求k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】①因为方程有两个不等实根，所以判别式大于0，可以求出k的取值范围．
②根据根与系数的关系，用k的式子表示两根之和与两根之积，然后代入两根的倒数和为0的等式中，求出k的值．对不在取值范围内的值要舍去．
【解答】解：①△＝（k+1）2﹣4k?
k，
＝k2+2k+1﹣k2，
＝2k+1＞0，
∴k＞﹣
，
∵k≠0，
故k＞﹣
且k≠0．
②设方程的两根分别是x1和x2，则：
x1+x2＝﹣
，x1?x2＝
，
+
＝
＝﹣
＝0，
∴k+1＝0，即k＝﹣1，
∵k＞﹣
，
∴k＝﹣1（舍去）．
所以不存在．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，①题用根的判别式求出k的取值范围，因为是一元二次方程，二次项系数不为0，所以k≠0．②题根据根与系数的关系，把两根和与两根积代入等式求出k的值，对不在取值范围内的值要舍去．
19．（7分）已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM．
【分析】由∠BAC＝∠DAM可得出∠BAD＝∠NAM，结合AB＝AN、AD＝AM即可证出△BAD≌△NAM（SAS），再根据全等三角形的性质可得出∠B＝∠ANM．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAM＝∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD＝∠NAM．
在△BAD和△NAM中，
，
∴△BAD≌△NAM（SAS），
∴∠B＝∠ANM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理SAS证出△BAD≌△NAM是解题的关键．
20．（7分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球
B．乒乓球C．羽毛球
D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 200 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；
（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：20÷
＝200（人），
则这次被调查的学生共有200人；
（2）补全图形，如图所示：（3）列表如下：
甲乙丙丁
甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）
乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）
丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）
丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
则P＝
＝
．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
21．（8分）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移
个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝
（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；
（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB＝
，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA＝OC即可判定出四边形OABC的形状．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝
（k＞0），
∵A（m，﹣2）在y＝2x上，
∴﹣2＝2m，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），
又∵点A在y＝
上，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝
；
（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1；
（3）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（﹣1，﹣2），
∴OA＝
＝
，
由题意知：CB∥OA且CB＝
，
∴CB＝OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y＝
上，
∴n＝1，
∴C（2，1），
OC＝
＝
，
∴OC＝OA，
∴四边形OABC是菱形．
【点评】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题．
22．（8分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BDE＝60°，PD＝
，求PA的长．
【分析】（1）要证是直线PD是为⊙O的切线，需证∠PDO＝90°．因为AB为直径，所以∠ADO+∠ODB＝90°，由∠PDA＝∠PBD＝∠ODB可得∠ODA+∠PDA＝90°，即∠PDO＝90°．
（2）根据已知可证△AOD为等边三角形，∠P＝30°．在Rt△POD中运用三角函数可求解．
【解答】解：（1）PD是⊙O的切线．理由如下：
∵AB为直径，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵∠PDA＝∠PBD＝∠ODB，
∴∠ODA+∠PDA＝90°．即∠PDO＝90°．
∴PD是⊙O的切线．
（2）∵∠BDE＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠PDA＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
又PD为半圆的切线，所以∠PDO＝90°，
∴∠ADO＝60°，又OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，∠AOD＝60°．
在Rt△POD中，PD＝
，
∴OD＝1，OP＝2，
PA＝PO﹣OA＝2﹣1＝1．
【点评】此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
23．（9分）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人＝支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
（3）分类讨论40≤x≤58，或58≤x≤71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y＝k1x+b1，由图象可得
，
解得
．
∴y＝﹣2x+140．
当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y＝k2x+b2，由图象得
，
解得
，
∴y＝﹣x+82，
综上所述：y＝
；
（2）设人数为a，当x＝48时，y＝﹣2×48+140＝44，
∴（48﹣40）×44＝106+82a，
解得a＝3；
（3）设需要b天，该店还清所有债务，则：
b[（x﹣40）?y﹣82×2﹣106]≥68400，
∴b≥
，
当40≤x≤58时，∴b≥
＝
，
x＝﹣
时，﹣2x2+220x﹣5870的最大值为180，
∴b
，即b≥380；
当58＜x≤71时，b
＝
，
当x＝﹣
＝61时，﹣x2+122x﹣3550的最大值为171，
∴b
，即b≥400．
综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，一次方程的应用，不等式的应用，分类讨论是解题关键．
24．（10分）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 ①②③④ （填序号即可）
①AF＝AG＝
AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： 等腰直角三角形 ．
【分析】操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；
数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；
类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；
【解答】解：●操作发现：
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠DAB＝∠ACE＝∠EAC＝45°，∠ADB＝∠AEC＝90°
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD＝CE，AD＝AE，
∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴AF＝BF＝DF＝
AB，AG＝GC＝GE＝
AC．
∵AB＝AC，
∴AF＝AG＝
AB，故①正确；
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD＝∠ACB+∠ACE，
即∠DBM＝∠ECM．
在△DBM和△ECM中，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD＝ME．故②正确；
连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，
∴整个图形是轴对称图形，故③正确．
∵AB＝AC，BM＝CM，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴四边形ADBM四点共圆，
∴∠ADM＝∠ABM，
∵∠AHD＝∠BHM，
∴∠DAB＝∠DMB，故④正确，
故答案为：①②③④
●数学思考：
MD＝ME，MD⊥ME．
理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，
∴AF＝
AB，AG＝
AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF＝
AB，EG⊥AC，EG＝
AC，
∴∠AFD＝∠AGE＝90°，DF＝AF，GE＝AG．
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG＝MF，MG＝AF，∠AFM＝∠AGM．
∴MF＝GE，DF＝MG，∠AFM+∠AFD＝∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM＝∠MGE．
在△DFM和△MGE中，
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM＝ME，∠FDM＝∠GME．
∵MG∥AB，
∴∠GMH＝∠BHM．
∵∠BHM＝90°+∠FDM，
∴∠BHM＝90°+∠GME，
∵∠BHM＝∠DME+∠GME，
∴∠DME+∠GME＝90°+∠GME，
即∠DME＝90°，
∴MD⊥ME．
∴DM＝ME，MD⊥ME；
●类比探究：
∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
∴MF∥AC，MF＝
AC，MG∥AB，MG＝
AB，
∴四边形MFAG是平行四边形，
∴MG＝AF，MF＝AG．∠AFM＝∠AGM
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF＝AF，GE＝AG，∠AFD＝∠BFD＝∠AGE＝90°
∴MF＝EG，DF＝MG，∠AFM﹣∠AFD＝∠AGM﹣∠AGE，
即∠DFM＝∠MGE．
在△DFM和△MGE中，
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD＝ME，∠MDF＝∠EMG．
∵MG∥AB，
∴∠MHD＝∠BFD＝90°，
∴∠HMD+∠MDF＝90°，
∴∠HMD+∠EMG＝90°，
即∠DME＝90°，
∴△DME为等腰直角三角形．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；
（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．
②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ＝QC，EC＝CQ，EQ＝EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．
【解答】解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax2+bx得
，
解得a＝﹣
，b＝4．
故抛物线的解析式为：y＝﹣
x2+4x；
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝
＝
，即
＝
．
∴PE＝
AP＝
t．PB＝8﹣t．
∴点E的坐标为（4+
t，8﹣t）．
∴点G的纵坐标为：﹣
（4+
t）2+4（4+
t）＝﹣
t2+8．
∴EG＝﹣
t2+8﹣（8﹣t）＝﹣
t2+t．
∵﹣
＜0，∴当t＝4时，线段EG最长为2．
②共有三个时刻．
（①）当EQ＝QC时，
因为Q（8，t），E（4+
t，8﹣t），QC＝t，
所以根据两点间距离公式，得：
（
t﹣4）2+（8﹣2t）2＝t2．
整理得13t2﹣144t+320＝0，
解得t＝
或t＝
＝8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．
（②）当EC＝CQ时，
因为E（4+
t，8﹣t），C（8，0），QC＝t，
所以根据两点间距离公式，得：
（4+
t﹣8）2+（8﹣t）2＝t2．
整理得t2﹣80t+320＝0，t＝40﹣16
，t＝40+16
＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
（③）当EQ＝EC时，
因为Q（8，t），E（4+
t，8﹣t），C（8，0），
所以根据两点间距离公式，得：（
t﹣4）2+（8﹣2t）2＝（4+
t﹣8）2+（8﹣t）2，
解得t＝0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t＝
．
于是t1＝
，t2＝
，t3＝40﹣16
．
【点评】抛物线的求法是函数解析式中的一种，通常情况下用待定系数法，即先列方程组，再求未知系数，这种方法本题比较适合．对于压轴题中的动点问题、极值问题，先根据条件“以静制动”，用未知系数表示各自的坐标，如果能构成二次函数，即可通过配方或顶点坐标公式求其极值．2019年湖北省天门市江汉学校、托市一中、张港初中等五校中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分,共30分)
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．
D．﹣
2．太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．6.96×103B．69.6×105C．6.96×105D．6.96×106
3．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6D．a10÷a5＝a5
4．已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
5．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD，反比例函数y＝
（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A．5
cmB．
πcmC．
πcmD．5πcm
7．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
8．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1B．﹣
≤x≤
C．0≤x≤
D．x＞
9．如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满．在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度h随时间t变化规律的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝
b．你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题3分,共18分)
11．分解因式：2a3﹣8a2+8a＝
．
12．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为
（结果用分数表示）．
13．已知正比例函数y＝﹣4x与反比例函数
的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（x，4），则点B的坐标为
．
14．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为
米．
15．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为
．
16．如图，∠AOB＝45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4…则第一个黑色梯形的面积S1＝
；观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积Sn＝
．
三、解答题（共72分）
17．（5分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中a＝2sin60°﹣tan45°．
18．（6分）关于x的方程，kx2+（k+1）x+
k＝0有两个不等实根．
①求k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
19．（7分）已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM．
20．（7分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球
B．乒乓球C．羽毛球
D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有
人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
21．（8分）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移
个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
22．（8分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BDE＝60°，PD＝
，求PA的长．
23．（9分）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人＝支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？
24．（10分）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是
（填序号即可）
①AF＝AG＝
AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：
．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分,共30分)
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．
D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．
2．太阳的半径约为696000km，把696000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．6.96×103B．69.6×105C．6.96×105D．6.96×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将696000用科学记数法表示为6.96×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．（m+3）2＝m2+9
C．（xy2）3＝xy6D．a10÷a5＝a5
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝m2+6m+9，不符合题意；
C、原式＝x3y6，不符合题意；
D、原式＝a5，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有2个小正方体，第，三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+2+1＝7个．
故选：B．
【点评】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
5．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD，反比例函数y＝
（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设BD＝a，则OC＝3a，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，可找出点C、D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、k的值，此题得解．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．
设BD＝a，则OC＝3a．
∵△AOB为边长为6的等边三角形，
∴∠COE＝∠DBF＝60°，OB＝6．
在Rt△COE中，∠COE＝60°，∠CEO＝90°，OC＝3a，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝
a，CE＝
＝
a，
∴点C（
a，
a）．
同理，可求出点D的坐标为（6﹣
a，
a）．
∵反比例函数y＝
（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，
∴k＝
a×
a＝（6﹣
a）×
a，
∴a＝
，k＝
．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质结合解含30度角的直角三角形，找出点C、D的坐标是解题的关键．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm．把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，如图所示，则点B所走过的路径长为（ ）
A．5
cmB．
πcmC．
πcmD．5πcm
【分析】根据勾股定理可将AB的长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以AB的长为半径，圆心角为90°的扇形．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝
＝
＝5，
lAB＝
＝
＝
πcm，
故点B所经过的路程为
πcm．
故选：C．
【点评】本题的主要是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化．
7．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
【分析】根据根的判别式的意义得到△＝22﹣4?（﹣a）＝0，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝22﹣4?（﹣a）＝0，
解得a＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1B．﹣
≤x≤
C．0≤x≤
D．x＞
【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，
∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO＝1，∠P′OC＝45°，OP′＝
，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0≤x≤
，
同理点P在点O左侧时，0
∴0≤x≤
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．
9．如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满．在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度h随时间t变化规律的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高度h随时间t变化而分三个阶段．
【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度h随时间t的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短，
故选：A．
【点评】解决本题的关键是根据三个容器的高度相同，粗细不同得到用时的不同．
10．小轩从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④4ac﹣b2＞0；⑤a＝
b．你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或﹣1时y的符号，进而判断得出答案．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x＝﹣
＝﹣
，
∴3b＝2a，则a＝
b，
∴b＜0，
∵图象与x轴交与y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故选项①错误；选项⑤正确；
②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故选项②正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴
b﹣b+c＞0，
∴b+2c＞0，故选项③正确；
④抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0，
故选项④错误．
故正确的有3个．
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（每小题3分,共18分)
11．分解因式：2a3﹣8a2+8a＝ 2a（a﹣2）2 ．
【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2a3﹣8a2+8a，
＝2a（a2﹣4a+4），
＝2a（a﹣2）2．
故答案为：2a（a﹣2）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为
（结果用分数表示）．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，
∴从这5瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为
；
故答案为：
．
【点评】此题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝
．
13．已知正比例函数y＝﹣4x与反比例函数
的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（x，4），则点B的坐标为 （1，﹣4） ．
【分析】首先求出A点坐标，进而将两函数联立得出B点坐标即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝﹣4x与反比例函数
的图象交于A、B两点，点A的坐标为（x，4），
∴4＝﹣4x，
解得：x＝﹣1，
∴xy＝k＝﹣4，
∴y＝
，
则﹣
＝﹣4x，
解得：x1＝1，x2＝﹣1，
当x＝1时，y＝﹣4，
∴点B的坐标为：（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据已知得出A点坐标是解题关键．
14．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 750
米．
【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝30×25＝750（米），
∴AD＝AC?sin45°＝375
（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝750
（米）．
故答案为：750
．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
15．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为
．
【分析】利用勾股定理列式求出AB，根据旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面积求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后根据B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，
∴AB＝
＝
＝3
，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝3，A′B′＝AB＝3
，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝
BO＝
×6＝3，
∴OE＝A′O，
过点O作OF⊥A′B′于F，
S△A′OB′＝
×3
?OF＝
×3×6，
解得OF＝
，
在Rt△EOF中，EF＝
＝
＝
，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×
＝
（等腰三角形三线合一），
∴B′E＝A′B′﹣A′E＝3
﹣
＝
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
16．如图，∠AOB＝45°，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4…则第一个黑色梯形的面积S1＝ 4 ；观察图中的规律，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积Sn＝ 8n﹣4 ．
【分析】观察图形，发现：黑色梯形的高总是2；根据等腰直角三角形的性质，分别求得黑色梯形的两底和依次是4，12，20，…即依次多8．再进一步根据梯形的面积公式进行计算．
【解答】解：∵∠AOB＝45°，
∴图形中三角形都是等腰直角三角形，
∴S1＝
（1+3）×2＝4；
Sn＝
×2×[4+8（n﹣1）]＝8n﹣4．
【点评】解决此题的关键是能够结合图形，根据等腰直角三角形的性质，找到梯形的上下底的和的规律．
三、解答题（共72分）
17．（5分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中a＝2sin60°﹣tan45°．
【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．
【解答】解：原式＝[
﹣
]?（a﹣1）
＝
?（a﹣1）
＝
当a＝2sin60°﹣tan45°＝2×
﹣1＝
﹣1时，
原式＝
＝
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键，也考查了特殊锐角的三角函数值．
18．（6分）关于x的方程，kx2+（k+1）x+
k＝0有两个不等实根．
①求k的取值范围；
②是否存在实数k，使方程的两实根的倒数和为0？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】①因为方程有两个不等实根，所以判别式大于0，可以求出k的取值范围．
②根据根与系数的关系，用k的式子表示两根之和与两根之积，然后代入两根的倒数和为0的等式中，求出k的值．对不在取值范围内的值要舍去．
【解答】解：①△＝（k+1）2﹣4k?
k，
＝k2+2k+1﹣k2，
＝2k+1＞0，
∴k＞﹣
，
∵k≠0，
故k＞﹣
且k≠0．
②设方程的两根分别是x1和x2，则：
x1+x2＝﹣
，x1?x2＝
，
+
＝
＝﹣
＝0，
∴k+1＝0，即k＝﹣1，
∵k＞﹣
，
∴k＝﹣1（舍去）．
所以不存在．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，①题用根的判别式求出k的取值范围，因为是一元二次方程，二次项系数不为0，所以k≠0．②题根据根与系数的关系，把两根和与两根积代入等式求出k的值，对不在取值范围内的值要舍去．
19．（7分）已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM．
【分析】由∠BAC＝∠DAM可得出∠BAD＝∠NAM，结合AB＝AN、AD＝AM即可证出△BAD≌△NAM（SAS），再根据全等三角形的性质可得出∠B＝∠ANM．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAM＝∠DAC+∠NAM，
∴∠BAD＝∠NAM．
在△BAD和△NAM中，
，
∴△BAD≌△NAM（SAS），
∴∠B＝∠ANM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理SAS证出△BAD≌△NAM是解题的关键．
20．（7分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球
B．乒乓球C．羽毛球
D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 200 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；
（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：20÷
＝200（人），
则这次被调查的学生共有200人；
（2）补全图形，如图所示：（3）列表如下：
甲乙丙丁
甲﹣﹣﹣（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）
乙（甲，乙）﹣﹣﹣（丙，乙）（丁，乙）
丙（甲，丙）（乙，丙）﹣﹣﹣（丁，丙）
丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
则P＝
＝
．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
21．（8分）如图，已知正比例函数y＝2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移
个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．
【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝
（k＞0），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；
（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB＝
，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA＝OC即可判定出四边形OABC的形状．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝
（k＞0），
∵A（m，﹣2）在y＝2x上，
∴﹣2＝2m，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣2），
又∵点A在y＝
上，
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝
；
（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1；
（3）四边形OABC是菱形．
证明：∵A（﹣1，﹣2），
∴OA＝
＝
，
由题意知：CB∥OA且CB＝
，
∴CB＝OA，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵C（2，n）在y＝
上，
∴n＝1，
∴C（2，1），
OC＝
＝
，
∴OC＝OA，
∴四边形OABC是菱形．
【点评】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题．
22．（8分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BDE＝60°，PD＝
，求PA的长．
【分析】（1）要证是直线PD是为⊙O的切线，需证∠PDO＝90°．因为AB为直径，所以∠ADO+∠ODB＝90°，由∠PDA＝∠PBD＝∠ODB可得∠ODA+∠PDA＝90°，即∠PDO＝90°．
（2）根据已知可证△AOD为等边三角形，∠P＝30°．在Rt△POD中运用三角函数可求解．
【解答】解：（1）PD是⊙O的切线．理由如下：
∵AB为直径，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵∠PDA＝∠PBD＝∠ODB，
∴∠ODA+∠PDA＝90°．即∠PDO＝90°．
∴PD是⊙O的切线．
（2）∵∠BDE＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠PDA＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
又PD为半圆的切线，所以∠PDO＝90°，
∴∠ADO＝60°，又OA＝OD，
∴△ADO为等边三角形，∠AOD＝60°．
在Rt△POD中，PD＝
，
∴OD＝1，OP＝2，
PA＝PO﹣OA＝2﹣1＝1．
【点评】此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
23．（9分）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人＝支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
（3）分类讨论40≤x≤58，或58≤x≤71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y＝k1x+b1，由图象可得
，
解得
．
∴y＝﹣2x+140．
当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y＝k2x+b2，由图象得
，
解得
，
∴y＝﹣x+82，
综上所述：y＝
；
（2）设人数为a，当x＝48时，y＝﹣2×48+140＝44，
∴（48﹣40）×44＝106+82a，
解得a＝3；
（3）设需要b天，该店还清所有债务，则：
b[（x﹣40）?y﹣82×2﹣106]≥68400，
∴b≥
，
当40≤x≤58时，∴b≥
＝
，
x＝﹣
时，﹣2x2+220x﹣5870的最大值为180，
∴b
，即b≥380；
当58＜x≤71时，b
＝
，
当x＝﹣
＝61时，﹣x2+122x﹣3550的最大值为171，
∴b
，即b≥400．
综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，一次方程的应用，不等式的应用，分类讨论是解题关键．
24．（10分）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现：
在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是 ①②③④ （填序号即可）
①AF＝AG＝
AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．
●数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答： 等腰直角三角形 ．
【分析】操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；
数学思考：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论；
类比探究：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；
【解答】解：●操作发现：
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠DAB＝∠ACE＝∠EAC＝45°，∠ADB＝∠AEC＝90°
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD＝CE，AD＝AE，
∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴AF＝BF＝DF＝
AB，AG＝GC＝GE＝
AC．
∵AB＝AC，
∴AF＝AG＝
AB，故①正确；
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD＝∠ACB+∠ACE，
即∠DBM＝∠ECM．
在△DBM和△ECM中，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD＝ME．故②正确；
连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，
∴整个图形是轴对称图形，故③正确．
∵AB＝AC，BM＝CM，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∵∠ADB＝90°，
∴四边形ADBM四点共圆，
∴∠ADM＝∠ABM，
∵∠AHD＝∠BHM，
∴∠DAB＝∠DMB，故④正确，
故答案为：①②③④
●数学思考：
MD＝ME，MD⊥ME．
理由：作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，
∴AF＝
AB，AG＝
AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF＝
AB，EG⊥AC，EG＝
AC，
∴∠AFD＝∠AGE＝90°，DF＝AF，GE＝AG．
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG＝MF，MG＝AF，∠AFM＝∠AGM．
∴MF＝GE，DF＝MG，∠AFM+∠AFD＝∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM＝∠MGE．
在△DFM和△MGE中，
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM＝ME，∠FDM＝∠GME．
∵MG∥AB，
∴∠GMH＝∠BHM．
∵∠BHM＝90°+∠FDM，
∴∠BHM＝90°+∠GME，
∵∠BHM＝∠DME+∠GME，
∴∠DME+∠GME＝90°+∠GME，
即∠DME＝90°，
∴MD⊥ME．
∴DM＝ME，MD⊥ME；
●类比探究：
∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，
∴MF∥AC，MF＝
AC，MG∥AB，MG＝
AB，
∴四边形MFAG是平行四边形，
∴MG＝AF，MF＝AG．∠AFM＝∠AGM
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF＝AF，GE＝AG，∠AFD＝∠BFD＝∠AGE＝90°
∴MF＝EG，DF＝MG，∠AFM﹣∠AFD＝∠AGM﹣∠AGE，
即∠DFM＝∠MGE．
在△DFM和△MGE中，
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD＝ME，∠MDF＝∠EMG．
∵MG∥AB，
∴∠MHD＝∠BFD＝90°，
∴∠HMD+∠MDF＝90°，
∴∠HMD+∠EMG＝90°，
即∠DME＝90°，
∴△DME为等腰直角三角形．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；
（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．
②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ＝QC，EC＝CQ，EQ＝EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．
【解答】解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax2+bx得
，
解得a＝﹣
，b＝4．
故抛物线的解析式为：y＝﹣
x2+4x；
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝
＝
，即
＝
．
∴PE＝
AP＝
t．PB＝8﹣t．
∴点E的坐标为（4+
t，8﹣t）．
∴点G的纵坐标为：﹣
（4+
t）2+4（4+
t）＝﹣
t2+8．
∴EG＝﹣
t2+8﹣（8﹣t）＝﹣
t2+t．
∵﹣
＜0，∴当t＝4时，线段EG最长为2．
②共有三个时刻．
（①）当EQ＝QC时，
因为Q（8，t），E（4+
t，8﹣t），QC＝t，
所以根据两点间距离公式，得：
（
t﹣4）2+（8﹣2t）2＝t2．
整理得13t2﹣144t+320＝0，
解得t＝
或t＝
＝8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．
（②）当EC＝CQ时，
因为E（4+
t，8﹣t），C（8，0），QC＝t，
所以根据两点间距离公式，得：
（4+
t﹣8）2+（8﹣t）2＝t2．
整理得t2﹣80t+320＝0，t＝40﹣16
，t＝40+16
＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
（③）当EQ＝EC时，
因为Q（8，t），E（4+
t，8﹣t），C（8，0），
所以根据两点间距离公式，得：（
t﹣4）2+（8﹣2t）2＝（4+
t﹣8）2+（8﹣t）2，
解得t＝0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t＝
．
于是t1＝
，t2＝
，t3＝40﹣16
．
【点评】抛物线的求法是函数解析式中的一种，通常情况下用待定系数法，即先列方程组，再求未知系数，这种方法本题比较适合．对于压轴题中的动点问题、极值问题，先根据条件“以静制动”，用未知系数表示各自的坐标，如果能构成二次函数，即可通过配方或顶点坐标公式求其极值．
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