2017初高中数学衔接教材 本文简介：
2017初高中数学衔接教材现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解
2017初高中数学衔接教材 本文内容：
2017初高中数学衔接教材
现有初高中数学教材存在以下“脱节”：
1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；
2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；
3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；
4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；
5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；
6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；
7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；
8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；
9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；
10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。
目录第一章
数与式
1.1
数与式的运算
1.1.1
绝对值
1.1.2
乘法公式
1.1.3
二次根式
1.1.4
分式
1.2
分解因式
第二章
二次方程与二次不等式
2.1
一元二次方程
2.1.1
根的判别式
2.1.2
根与系数的关系2.2
二次函数
2.2.1
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
2.2.2
二次函数的三种表达方式
2.2.3
二次函数的应用2.3
方程与不等式
2.3.1
二元二次方程组的解法
第三章
相似形、三角形、圆
3.1
相似形
3.1.1
平行线分线段成比例定理
3.1.2
相似三角形形的性质与判定3.2
三角形
3.2.1
三角形的五心
3.2.2
解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3
圆
3.3.1
直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理
3.3.2
点的轨迹
3.3.3
四点共圆的性质与判定
3.3.4
直线和圆的方程（选学）1.1
数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．
例1
解不等式：＞4．
解法一：由，得；由，得；
①若，不等式可变为，
即＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若，不等式可变为，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若，不等式可变为，
即＞4，
解得x＞4．
又x≥3，
∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．
1
3
A
B
x
0
4
C
D
x
P
|x－1|
|x－3|
图1．1－1
解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．
所以，不等式＞4的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P
在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．x＜0，或x＞4．
练
习
1．填空：
（1）若，则x=_________；若，则x=_________.
（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.
2．选择题：
下列叙述正确的是
（）
（A）若，则（B）若，则
（C）若，则（D）若，则
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
1.1.2.
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
；
（2）完全平方公式．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
；
（2）立方差公式
；
（3）三数和平方公式
；
（4）两数和立方公式
；
（5）两数差立方公式
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1
计算：．
解法一：原式=
=
=．
解法二：原式=
=
=．
例2
已知，，求的值．
解：
．
练
习
1．填空：
（1）（
）；
（2）
；(3
)
．
2．选择题：
（1）若是一个完全平方式，则等于
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）不论，为何实数，的值
（
）
（A）总是正数
（B）总是负数（C）可以是零
（D）可以是正数也可以是负数
1.1.3．二次根式
一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.
例如
，等是无理式，而，，等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，
与，等等．
一般地，与，与，与互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式的意义例1
将下列式子化为最简二次根式：
（1）；（2）；
（3）．
解：
（1）；
（2）；
（3）．
例2 计算：．
解法一：
＝
＝
＝
＝
＝．
解法二：
＝
＝
＝＝＝．
例3
试比较下列各组数的大小：
（1）和；
（2）和.
解：
（1）∵，
，
又，
∴＜．
（2）∵
又
4＞2，
∴＋4＞＋2，
∴＜.
例4 化简：．
解：
＝＝
＝＝．
例
5
化简：（1）；
（2）．解：（1）原式
．
（2）原式=，
∵，∴，所以，原式＝．
例
6
已知，求的值
．
解： ∵，
，∴．
练
习
1．填空：
（1）＝__
___；
（2）若，则的取值范围是_
_
___；
（3）__
___；
（4）若，则______
__．
2．选择题：
等式成立的条件是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．若，求的值．
4．比较大小：2－
－（填“＞”，或“＜”）．
1.1.４．分式
1．分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：
；
．
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
例1 若，求常数的值．
解：
∵，
∴
解得
．
例2 （1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n，
有．
（1）证明：∵，
∴（其中n是正整数）成立．
（2）解：由（1）可知
＝．
（3）证明：∵＝＝，
又n≥2，且n是正整数，∴一定为正数，
∴＜．
例3 设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得
2e2－5e＋2＝0，
∴(2e－1)(e－2)＝0，
∴e＝＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
练
习
1．填空题：对任意的正整数n，()；
2．选择题：
若，则＝
（
）
（A）１
（B） （C）
（D）
3．正数满足，求的值．
4．计算．习题1．1
A
组
1．解不等式：(1)
；
(2)
；
(3)
．
２．已知，求的值．
3．填空：
（1）＝________；
（2）若，则的取值范围是________；
（3）________．B
组
1．填空：
（1），，则____
____；
（2）若，则__
__；
2．已知：，求的值．
C
组
1．选择题：
（1）若，则
（
）
（A）
（B） （C）
（D）
（2）计算等于
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．解方程．
3．计算：．
4．试证：对任意的正整数n，有＜．
1.2因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1
分解因式：
（1）x2－3x＋2；
（2）x2＋4x－12；
（3）；
（4）．
解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
－ay
－by
x
x
图1．1－4
－2
6
1
1
图1．1－3
－1
－2
1
1
图1．1－2
－1
－2
x
x
图1．1－1说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．1－4，得
－1
1
x
y
图1．1－5
＝
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1)
(y+1)
（如图1．1－5所示）．
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）__________________________________________________。
（2）__________________________________________________。
（3）__________________________________________________。
（4）__________________________________________________。
（5）__________________________________________________。
（6）__________________________________________________。
（7）__________________________________________________。
（8）__________________________________________________。
（9）__________________________________________________。
（10）__________________________________________________。
2、
3、若则，。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1）（2）（3）（4）
（5）中，有相同因式的是（）
A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式得（）
A、B、C、D、
3、分解因式得（）
A、
B、
C、
D、
4、若多项式可分解为，则、的值是（）
A、，B、，C、，D、，
5、若其中、为整数，则的值为（）
A、或B、C、D、或
三、把下列各式分解因式
1、2、
3、
4、2．提取公因式法例2
分解因式：（1）
（2）
解：
（1）．=
（2）==
=．
或
＝＝＝＝
＝
课堂练习：
一、填空题：
1、多项式中各项的公因式是_______________。
2、__________________。
3、____________________。
4、_____________________。
5、______________________。
6、分解因式得_____________________。
7．计算=
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”
）
1、…………………………………………………………
（）
2、……………………………………………………………
（）
3、……………………………………………
（）
4、………………………………………………………………
（）3：公式法
例3
分解因式：
（1）
（2）
解：(1)=
(2)
=课堂练习
一、，，的公因式是______________________________。二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”
）
1、…………………………
（）
2、
…………………………………
（）
3、…………………………………………………
（）
4、…………………………………………
（）
5、………………………………………………
（）
五、把下列各式分解
1、
2、3、
4、
4．分组分解法
例4
（1）
（2）．
（2）=
==．
或=
=
=．课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）
（2）5．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
例5 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）；
（2）．
解：
（1）令=0，则解得，，
∴=
=．
（2）令=0，则解得，，
∴=．
练习
1．选择题：
多项式的一个因式为
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8；
（2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1；
（4）．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
；（2）；
（3）；
（4）．
2．在实数范围内因式分解：
（1）
；
（2）；（3）；
（4）．
3．三边，，满足，试判定的形状．
4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．
5.
（尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=，求++的值.
2.1
一元二次方程2.1.1根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，
如求方程的根（1）(2)
(3)
}我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为．①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－；
（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1）
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1
判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0；
（2）x2－ax－1＝0；（3）
x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根
，
．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
②当a≠2时，Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根
x1＝1，x2＝a－1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1－a)
＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根
，
；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．
2.1.2
根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
，，
则有
；．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x 2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x 2＝－p，x1·x2＝q，
即
p＝－(x1＋x 2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为
x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0．因此有
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0．
例2
已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．
所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为x1，则
2x1＝－，∴x1＝－．
由
（－）＋2＝－，得
k＝－7．
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．例3
已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析：
本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3
x1·x2＝21，
即
[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得
m2－16m－17＝0，解得
m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4
已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则
x＋y＝4，
①
xy＝－12．
②
由①，得
y＝4－x，代入②，得
x(4－x)＝－12，
即x2－4x－12＝0，
∴x1＝－2，x2＝6．
∴
或
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．
解这个方程，得x1＝－2，x2＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5
若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求|
x1－x2|的值；
（2）求的值；（3）x13＋x23．
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，
∴，．
（1）∵|
x1－x2|2＝x12+
x22－2
x1x2＝(x1＋x2)2－4
x1x2＝＝＋6＝，
∴|
x1－x2|＝．
（2）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)(
x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[
(
x1＋x2)
2－3x1x2]
＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则
，，
∴|
x1－x2|＝
．
于是有下面的结论：
若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则|
x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6
若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
解：设x1，x2是方程的两根，则
x1x2＝a－4＜0，
①且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．
②
由①得
a＜4，
由②得
a＜．∴a的取值范围是a＜4．
练习
1．选择题：
（1）方程的根的情况是
（）
（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根
（D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx2＋
(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（
）
（A）m＜
（B）m＞－
（C）m＜，且m≠0
（D）m＞－，且m≠02．填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝
．
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是．
3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)(
x2－3)的值．习题2.1
A
组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（
）（A）－3
（B）3
（C）－2
（D）2
（2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3
x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3
x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是
（
）（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（
）
（A）0
（B）1
（C）－1（D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝
．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是
．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|
x1－x2|＝
．
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)
x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．
B
组
1．选择题:
若关于x的方程x2＋(k2－1)
x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为
(
)
（A）1，或－1
（B）1
（C）－1
（D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于
．
（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．
3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．
4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：
（1）|
x1－x2|和；（2）x13＋x23．
5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|
x1－x2|＝2，求实数m的值．
C
组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于
（）
（A）
（B）3
（C）6
（D）9
（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为
（）
（A）6（B）4
（C）3
（D）
（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
（）（A）α＋β≥
（B）α＋β≤（C）α＋β≥1
（D）α＋β≤1（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是(
)（A）没有实数根
（B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根
（D）有两个异号实数根
2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝．
3．
已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)(
x1－2
x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）求使－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，，试求的值．
4．已知关于x的方程．
（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．
5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．
2．2
二次函数2.2.1
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图
（1）
(2)
(3)
问题1
函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．
先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2
函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？
图2.2-2
x
y
O
－1
y＝2x2
y＝2(x＋1)2
y＝2(x＋1)2＋1
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“
k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．
（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．
x
y
O
x＝－
A
图2.2-3
x
y
O
x＝－
A
图2.2-4
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．y＝x2
y＝2x2
图2.2-1
x
O
y例1
求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
x
O
y
x＝－1
A(－1,4)
D(0,1)
B
C
图2.2－5
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领：
（1）
确定开口方向：由二次项系数a决定
（2）
确定对称轴：对称轴方程为
（3）
确定图象与x轴的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出③①若△<0则与x轴有无交点。
（4）
确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）
（5）
由以上各要素出草图。
练习：作出以下二次函数的草图（1）
(2)
(3)
例2
某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：
x
/元
130
150
165
y/件
70
50
35若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B）
将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
解得
k＝－1，b＝200．∴
y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，
∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．
例3
把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．
解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以，解得b＝－8，c＝14．
解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像．
由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．
例4
已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；
（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．
x
y
O
－2
a①
x
y
O
－2
a
a24图2.2－6
x
y
O
a－224a2②－2x
y
O
aa24③说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是
（
）（A）y＝2x2
（B）y＝2x2－4x＋2
（C）y＝2x2－1
（D）y＝2x2－4x
（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2
（
）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝
，n＝
．
（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝
时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝
时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝
时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向
，对称轴为
，顶点坐标为
；当x＝
时，函数取最值y＝
；当x
时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
（1）y＝x2－2x－3；
（2）y＝1＋6
x－x2．
4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2
二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k
(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．
①
并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以
x1＋x2＝，x1x2＝，即
＝－(x1＋x 2)，
＝x1x2．
所以，y＝ax2＋bx＋c＝a()
=
a[x2－(x1＋x 2)x＋x1x2]＝a(x－x1)
(x－x2)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1)
(x－x2)
(a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x1)
(x－x2)
(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
例1
已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴，解得a＝－2．
∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
例2
已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3)
(x－1)
(a≠0)，
展开，得
y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为
，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝．
所以，二次函数的表达式为y＝，或y＝－．
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋2，或y＝a(x＋1)2－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．
∴a＝－，或a＝．
所以，所求的二次函数为y＝－(x＋1)2＋2，或y＝(x＋1)2－2．
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．
例3
已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得解得
a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8．
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？
练习
1．选择题:
（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个
（C）2个
（D）无法确定（2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是
（）（A）(1，2)
（B）(1，－2)
（C）(－1，2)（D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a
(a≠0)
．
（2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为
．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－，0)和(1＋，0)，并与y轴交于(0，－2)．
2.2.3
二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1
在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
例1
求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为
y＝2(x－1)2－1，其顶点坐标为(1，－1)．（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x－3)2－2．（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1，
2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x＋1)2＋2．
2．对称变换
问题2
在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
x
y
O
x＝－1
A(1,－1)
A1(－3,－1)
图2.2－7
例2
求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A1(－3，1)，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y＝2(x＋3)2－1，即y＝2x2＋12x＋17．
x
y
O
y＝1
A(1,－1)
B(1，3)
图2.2－8（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)2＋3，即y＝－2x2＋4x＋1．练习
1．选择题：
把函数y＝－(x－1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（）
（A）y＝
(x＋1)2＋1
（B）y＝－(x＋1)2＋1
（C）y＝－(x－3)2＋4（D）y＝－(x－3)2＋1
2某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元，
商场平均每天可多售出2件：(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元，(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?2.3.1二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法
一、知识概述
1、二元二次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程．
关于x、y的二元二次方程的一般形式为ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、c至少有一个不为0)，其中ax2、bxy、cy2叫做二次项，a、b、c分别是二次项的系数；dx、ey叫做一次项，d、e分别是一次项的系数；f叫做常数项．
例，xy=1，x2－y=0，x－y－2xy=－3都是二元二次方程；x－y=1，x2y=0都不是二元二次方程．
2、二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组．
3、解二元二次方程组的思想和方法
解二元二次方程组的基本思想是“转化”，将二元转化为一元，将二次转化为一次，转化的基本方法是“消元”和“降次”．因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键．
二、重点、难点和疑点突破
1、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法(简称“二·一”型方程组)
(1)代入消元法(即代入法)
代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
①先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一元一次方程；
③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值；
⑤写出方程组的解．
(2)逆用根与系数关系定理法
对“二·一”型二元二次方程组成的形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x，y的值，当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”．
2、对“二·一”型的二元二次方程组的解的情况的判别
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．
3、“二·二”型方程组的解法
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”、“消元”．它的一般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．
4、“二·二”型方程组的解的情况
由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程一般不能组成方程组．
值得注意的是“二·一”型方程组最多有两个解；“二·二”型方程组最多有四个解．解方程组时，既不要漏解，也不要增解．
三、解题方法技巧点拨
1、“二·一”型二元二次方程组的解
例1、解方程组
分析：
此方程组含有一个二元一次方程，所以可用代入法解，这是第一种解法；如果把①变形为(x＋y)2=4，得x＋y=2或x＋y=－2，则原方程组可变形为两个二元一次方程组．解这两个二元一次方程组所得的解都是原方程组的解，这是第二种解法．
解法1：
由②得x=2y＋5
③
将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4．
整理，得3y2＋10y＋7=0．
点评：解“二·一”型二元二次方程组，一般常采用前一种解法，即先代入消元，再分解降次(或用公式法)求解．本例的第二种解法是一种特殊解法，它只适合一些特殊形式的方程组．分解：
仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可联系通过构造一个以x，y为根的一元二次方程来求解．
解法1：
由①得y=8－x．③
把③代入②，整理得x2－8x＋12=0．
解得x1=2，x2=6．
把x1=2代入③，得y1=6．把x1=6代入③，得y2
=2．
解法2：
根据韦达定理可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12=0的两个根，解这个方程，得
z1=2，z2=6．
点悟：“代入法”是解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的一般方法，适用范围广；“逆用韦达定理法”虽然简便，但它只适用于以两数和与两根积的形式给出的方程组，适用范围比较小．
2、只有一个方程可分解降次的方程组的解法
例3、解方程组
分析：
观察方程②，把(x－y)看成整体，那么方程②就可以看作是关于?(x－y)的一元二次方程，且可分解为(x－y－3)(x－y＋1)=0，由此可得到两个二元一次方程x－y－3=0和x－y＋1=0．
这两个二元一次方程分别和方程①组成两个方程组：
分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解．
解：
由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0．
∴x－y－3=0或x－y＋1=0．
∴原方程组可化为两个方程组：
3、两个方程都可以分解降次的方程组的解法
例4、解方程组
分析： 方程①的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的，方程②左边是完全平方式，右边是1，将其两边开平方，也可以达到降次的目的．
解： 由①得(x－4y)(x＋y)=0
∴x－4y=0或x＋y=0
由②得(x＋2y)2=1
∴x＋2y=1或x＋2y=－1．
原方程可化为以下四个方程组
点评：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程组成方程组，这样会出现增解问题，同时也要注意防止漏解现象．
4、已知解的情况，确定字母系数
例5、k为何值时，方程组
(1)有一个实数解，并求出此解；
(2)有两个实数解；
(3)没有实数解．
分析：
所考知识点：二元二次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知数y，可得到关于x的一元二次方程，再根据根的判别式来讨论．
解：
将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0 ③
△=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)． 点悟：解这种题型的规律是一般将方程组转化为一元二次方程后，利用△=0，△＞0，△＜0来讨论的．
解题易错点是一元二次方程中x2的系数k2不等于0容易被忽略．练习
解方程组（1）；（2）
2.3.2一元二次不等式的解法
1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2、一元二次不等式的解法步骤
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根
无实根R
例1
解不等式：
（1）x2＋2x－3≤0；
（2）x－x2＋6＜0；
（3）4x2＋4x＋1≥0；（4）x2－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x2＜0．
例2
解关于x的不等式
解：原不等式可以化为：
若即则或
若即则
若即则或
例3
已知不等式的解是求不等式的解．
解：由不等式的解为，可知
，且方程的两根分别为2和3，
∴，
即
．
由于，所以不等式可变为
，
即
－
整理，得所以，不等式的解是
x＜－1，或x＞．
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
练习
1．解下列不等式：
（1）3x2－x－4＞0；
（2）x2－x－12≤0；
（3）x2＋3x－4＞0；
（4）16－8x＋x2≤0．2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．作业：
1.若0或xa
2.如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x1，x2满足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解是______.
3．解下列不等式：（1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜0；（3）2x－x2≥－1；
（4）4－x2≤0．(5)4+3x－2x2≥0;
(6)9x2－12x>－4;
4．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．
5．关于x的不等式的解为
求关于x的不等式的解．
3．1
相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
图3.1-1
在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，，另作直线交于点，不难发现
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图3.1-2，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1
如图3.1-2，
，
且求.
图3.1-2
解例2
在中，为边上的点，，
求证：.
证明（1）
∽，
证明（2）
如图3.1-3，过作直线，.
过作交于，得，
图3.1-3
因而
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3
已知，在上，，能否在上找到一点，使得线段的中点在上.
解
假设能找到，如图3.1-4，设交于，则为的中点，作交于.
，
，且，
图3.1-4
，且
为的中点.
可见，当为的中点时，的中点在上.
我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.
例4
在中，为的平分线，求证：.
证明
过C作CE//AD，交BA延长线于E，AD平分
由知
图3.1-5
.
例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习1
图3.1-7
图3.1-6
1．如图3.1-6，，下列比例式正确的是（）
A．
B．
C．D.
2．如图3.1-7，求.
3．如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.
图3.1-8
4．如图，在中，的外角平分线交的延长线于点，求证：.（三角形外角平分线定理）
图3.1-10
图3.1-9
5．如图，在的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：.
3.12．相似形
我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？
例5
如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，，求证：.
证明
在与中，∽，
，即.
图3.1-11
又与中，，
∽，
.
例6
如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，.
求证：（1），；
图3.1-12
（2）
证明
（1）在与中，，
∽，
同理可证得.
（2）在与中，，
∽，
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例7
在中，，求图3.1-13
证：.
证明
，
为直角三角形，又，
由射影定理，知.
同理可得.
.
例8
如图3.1-14，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：图3.1-14
（1）
当时，有.（如图3.1-14a）
（2）
当时，有.（如图3.1-14b）
（3）
当时，有.（如图3.1-14c）
在图3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）.
解：依题意可以猜想：当时，有成立.
证明
过点D作DF//BE交AC于点F，
D是BC的中点，F是EC的中点，
由可知，.想一想，图3.1-14d中，若，则
本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定
.数学的发展史就是不断探索的历史.练习2
1．如图3.1-15，D是的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则等于（
）
A．
B．
C．
D．图3.1-15
2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是__________.
3．已知：的三边长分别是3，4，5，与其相似的的最大边长是15，求的面积.
4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD
中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1）
请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
图3.1-16
（2）
若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，是等边三角形，
（1）
当AC、CD、DB满足怎样的关系时，∽？
图3.1-17
（2）
当∽时，求的度数.
习题3.1
A组
1．
如图3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（
）
A．DE=1，BC=7
B．DE=2，BC=6
C．DE=3，BC=5
D．DE=2，BC=8
图3.1-18
2．
如图3.1-19，BD、CE是的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则等于（
）
A．1：3
B．1：4C．1：5
D．1：6图3.1-19
3．
如图3.1-20，中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，，求.
图3.1-20
4．
如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：.图3.1-21B组
1．
如图3.1-22，已知中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为（
）
图3.1-22
A．
B．1
C．
D．2
图3.1-23
2．
如图3.1-23，已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（
）
A．
B．
C．
D．
图3.1-24
3．
如图3.1-24，已知M为的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与面积的比是（
）
A．
B．
C．
D．
4．
如图3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD.
（1）
求证：OE=OF；
（2）
求的值；
图3.1-25
（3）
求证：.C组
1．
如图3.1-26，中，P是边AB上一点，连结CP.
（1）
要使∽，还要补充的一个条件是____________.
（2）
若∽，且，则=_____.
图3.1-262．
如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且.
（1）
求证：；
图3.1-27
（2）
根据图形的特点，猜想可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.3．
如图3.1-28，在中，AB=AC，，点D为BC上任一点，于F，于E，M为BC的中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论.图3.1-284．
如图3.1-29a，垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，于F，我们可以证明成立.
图3.1-29
若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29
b，相交于E，EF//AB交BD于F，则：
（1）
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）
请找出和之间的关系，并给出证明.
3.2三角形
3.2.1三角形的“五心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
图3.2-1图3.2-2如图3.2-1
，在三角形△ABC中，有三条边，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1
求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知
D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，
求证
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
图3.2-3
证明
连结DE，设AD、BE交于点G，
D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，
∽，且相似比为1：2，
.
设AD、CF交于点，同理可得，
图3.2-4
则与重合，
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.
三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）图3.2-5
例2
已知的三边长分别为，I为的内心，且I在
的边上的射影分别为，求证：.
证明
作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，
为圆的从同一点作的两条切线，，
同理，BD=BF，CD=CE.
图3.2-6即.
例3
若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知
O为三角形ABC的重心和内心.
求证
三角形ABC为等边三角形.
证明
如图，连AO并延长交BC于D.
O为三角形的内心，故AD平分，
（角平分线性质定理）
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
，即.
图3.2-7
同理可得，AB=BC.
为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）
图3.2-8
例4
求证：三角形的三条高交于一点.
已知
中，AD与BE交于H点.
求证
.
证明
以CH为直径作圆，在以CH为直径的圆上，
.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.
图3.2-9
，
又与有公共角，，即.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的
外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
练习1
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2．
（1）
若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是 ___________;
（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是 ___________.
并请说明理由.
3.2.2解斜三角形
一、回顾直角三角形的四个锐角三角函数的概念；
1正弦、余弦、正切、余切2、特殊角的三角函数值
二、直角三角形的边角公式：平方和关系、商的关系、倒数关系
sin2a+cos2a=1
tga=
ctga=tg2a·ctg2a=1
分别写出变形式：
三、讲授在坐标系内的钝角三角函数。（A为钝角）
sinA=sin(1800-A)
cosA=-cos(1800-A)
tgA=-tg(1800-A)
ctgA=-ctg
(1800-A)
画图像举例说明：正弦值为“﹢”，其余为“﹣”
四、正弦定理和余弦定理
正弦定理
三角形各边的长度与其对角的正弦值的比相等，且等于它的外接圆的直径
证明（传统证法）在任意斜△ABC当中：S△ABC=两边同除以即得：
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2
=b2
+c2-2bccosA
变形式：
b2
=c2
+a2-2accosB
变形式：
c2
=a2
+b2-2abcosC
变形式：
五．例题分析
例1
在△ABC中，已知a=3，c=3，∠A=30°，求∠C及b
分析
已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．
解
∵∠A=30°，a＜c，c·sinA=＜a，
∴此题有两解．
sinC=
=
=
，
∴∠C=60°，或∠C=120°．
∴当∠C=60°时，∠B=90°，b==6．
当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．
点评
已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论．
例2
在△ABC中，已知acosA=bcosB，判断△ABC的形状．分析
欲判断△ABC的形状，需将已知式变形．式中既含有边也含有角，直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角函数，则可进行三角变换．
解
方法一：由余弦定理，得
a·（）=b·（），∴a
2c
2－a
4－b
2c
2+b
4=0
．
∴(a2－b2)(c
2－a2－b2)=0
．
∴a2－b2=0，或c2－a2－b2=0．
∴a=b，或c2=a2+b2．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
方法二：由acosA=bcosB，得
2RsinAcosA=2RsinBcosB．
∴sin2A=sin2B．
∴2A=2B，或2A=1800－2B．
∴A=B，或A+B=900．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
点评
若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．
例3
已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，
BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．
·
A
B
C
D
O
分析
四边形ABCD的面积等于△ABD和△BCD的
面积之和，由三角形面积公式及∠A+∠C=π可知，只需
求出∠A即可．所以，只需寻找∠A的方程．
解
连结BD，则有四边形ABCD的面积
S=S△ABD+S△CDB=AB·AD·sinA+BC·CD·sinC．
∵A+C=180°，
∴sinA=sinC．故S=（2×4+6×4）sinA=16sinA．
在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2－2AB·ADcosA=20－16cosA
．
在△CDB中，由余弦定理，得BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC．
∴20－16cosA=52－48cosC．
∵cosC=－cosA，
∴64cosA=－32，cosA=－
．
又∵0°＜A＜180°，∴A=120°．
A
P
C
B
b
a
故S=16sin120°=8
．
点评
注意两个三角形的公用边在解题中的运用．
例4
墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线b米，
下端距水平视线a米，问观察者距墙壁多少米时，才能使
观察者上、下视角最大．
分析
如图，使观察者上下视角最大，即使∠APB
最大，所以需寻找∠APB的目标函数．由于已知有关边长，
所以考虑运用三角函数解之．
解
设观察者距墙壁x米的P处观察，PC⊥AB，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，则∠APB=θ为视角．
y=tanθ=tan(∠APC－∠BPC)=
==
≤，
当且仅当x=
,
即x=时，y最大．
由θ∈（0，）且y=tanθ在（0，）上为增函数，故当且仅当x=时视角最大．
点评
注意运用直角三角形中三角函数的定义解决解三角形的有关问题．
练习
1．△ABC中，tanA+tanB+=tanAtanB，sinAcosA=，则该三角形是
（
）
A．等边三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形或直角三角形
2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角为
（
）
A．120°
B．150°
C．60°D．90°
3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在
（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则cosA=
．
5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为．
6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，s=5，求c的长度．
A
C
B
O
A‘
7．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC，试求角B的大小．8．半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，且OA=2，
B为半圆上任意一点，以AB为边向外作等边△ABC，问B
点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最
大面积．
3.3
圆
3.3.1圆幂定理及其应用
教学目标
1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解
决有关问题；
2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方
法；
3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的
观点的教育.
教学重点和难点
相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题
是难点.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割
线定理的内容.2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?
提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，
从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.
(1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：
一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)
二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)
(2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠
近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167)
(4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可
得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)
至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和
切线长定理之间有着密切的联系.
3.启发学生理解定理的实质.
经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.
观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)
在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF
＝(R-OP)(R+OP)
＝R2-OP2；在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2
＝OP2-R2
在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2
＝OP2-R2.
教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.
二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)
例1
如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径.
分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解.
(由学生讨论、分析，得出解决)例2
如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.
求证：AX·AY=BP·BQ
分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题
不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出
发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.
方法1
在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ.
再连结CO，AO，DO，BO，
易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD
所以AX·AY＝BP·BQ.
方法2
在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有
AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE.
易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.
所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.
所以AX·AY＝BP·BQ.
方法3
如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有
AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD.
易证AE＝BC，AF＝BD，
所以AE·AF＝BC·BD.
从而AX·AY＝BP·BQ.
通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，
沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此
题?
三、练习
练习1
已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB＝BC.如果OA＝7，PA＝2，求PC的长.
练习2
如图7-175，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证：PN2＝NM·NQ.四、小结
用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学生观察并说出相应的定理.教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.
五、习题
1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。
已知：如图5，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，P为BA延长线上任意一点，且PC、PD与⊙O1和⊙O2分别切于C、D两点。求证：PC=PD。2、如图6，过点P作⊙O的切线PA，A为切点，过PA中点B作割线交⊙O于C、D，连结PC并延长交⊙O于E，连结PD，交⊙O于F。求证：EF∥PA。3、如图7，已知PBD是⊙O的割线，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，求证：（1）PA·AB=PB·AD；
（2）；
（3）AD·BC=AB·DC。
提示：（1）要证PA·AB=PB·AD，只要证得就可以了。而PA、AD、PB、AB分别是△PAD和△PBA的两条边，因此只根证得这两个三角形相似即可。显然∠APD=∠BPA，∠ADP=∠BAP，因此△PAD∽△PBA。
（2）由问题（1）可知，因此要证，只需证。而PA2=PB·PD，故有。
（3）要证AD·BC=AB·DC，只需证得即可。由问题（1）可知，类似问题（1）可证得。因PA=PC，故。因此有。3.3.2
点的轨迹：三点的轨迹［教学目标］1.
了解点的轨迹的定义。2.
掌握五种基本轨迹（即轨迹定理1、2、3、4、5）。3.
学会利用定理1、2、3、4、5求简单轨迹。4.
初步学会交轨法作图。二.
重点、难点：1.
重点：有关轨迹的5个定理及轨迹在研究点的运动和作图方面的应用。2.
难点：
（1）如何利用轨迹作图，轨迹的探求方法。
（2）如何把运动问题，作图问题归结为点的轨迹问题来解决。
例1.
求下列点的轨迹。
（1）当的斜边AB固定时，求直角顶点C的轨迹。
（2）已知⊙O及弦AB，求与AB平行的弦的中点的轨迹。
解：（1）如图，设O为AB的中点，连结CO，则。因为AB固定，所以O为定点，CO为定长。由定理“到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆”，得所求轨迹是以AB为直径的圆。由于圆上A，B两点不能作为以AB为斜边的直角三角形的直角顶点，故应除去。
（2）如图，动点是与AB平行的弦的中点，不变量是⊙O的弦AB，根据垂径定理，弦中点到A、B的距离相等，由定理2，所求中点的轨迹是与弦AB垂直的直径（除去两端点及AB的中点）精析：求适合某个条件的点的轨迹的基本思路是把题设中的条件转化为课本中某一个轨迹定理的条件，从而根据轨迹定理的结论得出所求轨迹。在求出轨迹后，要检查所得的图形中是否包含了某些不合题意的点，如果有，则应当将它们除去。
例2.
求下列点的轨迹，并画出图。
（1）在半径为5cm的圆中，长为6cm的动弦的中点的轨迹。
（2）与相交于A、B两点的等圆都外切的动圆圆心的轨迹。
解：（1）如图，连结OC、OA，其中C为弦AB的中点，根据垂径定理得：OC⊥AB。所以，所以
所以以长为6cm的已知线段为弦，且在半径为5cm的圆中运动所得的弦的中点的轨迹是以点O为圆心、半径为4cm的一个圆。
（2）设P是所求轨迹上的任意一点，连结，则
又因为，所以AB垂直平分
而线段AB上的任意一点都不可能是和⊙O1，⊙O2都外切的动圆圆心
所以所求轨迹是的中垂线AB，并除去线段AB，如图所示。精析：在分析求点的轨迹的思路时，可以设出一种有代表性的情况，并画出图形（如本例第（1）小题中，设AB是半径为5cm的⊙O中的一条长为6cm的弦，C是AB的中点，然后分析当AB运动时，中点C如何变化。）这样便于借助图形，找出能反映动点运动特征的位置关系和数量关系，并使之转化为某个轨迹定理中的条件。在检验求出的轨迹时，有时要剔除的不只是某几个点，而可能是一条线段，或一段圆弧等。如本例中第（2）小题。
例3.
求以4cm长的已知线段AB为一边，且面积为的三角形的第三个顶点C的轨迹。
解：因为AB的长为4cm，三角形面积为，则三角形AB边上的高线长
所以三角形的第三个顶点C到对边AB所在直线的距离为6cm
因此所求轨迹是与线段AB所在直线平行，且到这条直线的距离等于6cm的两条平行直线（如图所示）精析：求点的轨迹的一般步骤：
（1）描出一些适合的点（画出草图）；
（2）研究并总结这些点具有的共同特点与已知条件的关系，从而根据五个轨迹定理中的一个确定所求的轨迹是什么图形；
（3）根据题意考虑是否有需要排除的特殊点（或线段、圆弧），然后用文字叙述完整。
例4.
如图所示，已知∠EOF，点A和点B，求作一点P，使点P同时满足：
（1）到∠EOF的两边距离相等；
（2）到点A、B的距离相等。解：点P到∠EOF两边的距离相等，则点P在∠EOF的平分线上，故作∠EOF的平分线。
点P到A、B两点的距离相等，则点P在线段AB的中垂线上，故作线段AB的中垂线。
两线的交点为P，则点P即为所求。
精析：当所求作的点同时满足两个（或多个）条件时，应单一地考虑每一个条件，确定所求作点各是什么轨迹上的点，并作出每一个轨迹，则这两个（或多个）轨迹的交点就是所求作的点，这种作图方法称为交轨法作图。
例5.
已知⊙O和定长r，点A是圆内的一点，求作一个半径为r的圆，使它经过点A，并且与⊙O内切。
解：以O为圆心，以⊙O的半径减去定长r的差为半径画圆
以点A为圆心，以定长r为半径画圆，两圆相交于点
则以或为圆心，定长r为半径画圆，所得⊙或⊙就是所求作的圆。（如图所示）精析：本例用交轨法作图，由于所求作圆的半径为已知线段r，故作图的关键是找圆心，由已知条件，就是到定点O的距离为定长（⊙O的半径与r之差）的点的轨迹和到定点A的距离为定长r的点的轨迹的交点。
练习1.
到定点P的距离等于6cm的点的轨迹是_____________。2.
以线段AB为底边的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹是_____________。3.
已知⊙O"与半径是4cm的⊙O外切，且⊙O"的半径为2cm，则点O"的轨迹是__________。4.
已知动点P到直线的距离为5cm，则点P的轨迹是____________。5.
半径等于2cm，与直线相切的圆的圆心的轨迹是______________。6.
如图所示，中，∠C＝Rt∠，BC边在上，点A在上，。已知进行平行移动，那么AB边的中点Q的轨迹是____________。
7.
与正方形ABCD的AB、AD两边（不延长）都相切的圆的圆心的轨迹是________。8.
到半径为r的定圆O的切线长等于定长a的点的轨迹是___________。9.
一动点P绕定点O，且到定点O的距离为4cm旋转半周，那么点P运动所经过的路程是_________cm。10.
如图所示，半径为3cm的弹子沿着半径为8
cm的圆形钢圈内壁滚动3周，那么弹子圆心P随之运动所经过的路程是________
cm。
二.
选择题。11.
到已知角两边所在直线的距离相等的点的轨迹是（）
A.
这个角的平分线
B.
这个角的平分线所在直线
C.
这个角和它的邻补角的平分线所在的直线
D.
这个角和它的邻补角的平分线12.
已知线段AB，切AB中点E的动圆圆心的轨迹是（）
A.
线段AB的中垂线
B.
AB的垂线（除去E点）
C.
线段AB的垂线
D.
线段AB的中垂线（除去E点）13.
已知两条平行线之间的距离为6
cm，和这两条平行线都相切的动圆圆心的轨迹是（）
A.
和这两条直线平行，且距离等于6cm的一条直线
B.
和这两条直线平行，且距离等于3cm的两条直线
C.
和这两条直线平行，且距离都等于3cm的一条直线
D.
和这两条直线平行，且距离等于3cm的三条直线14.
点P（x，y）在直角坐标系内运动，且满足，则点P的轨迹是（）
A.
平分第I象限角的一条射线
B.
平分第II象限角的一条射线
C.
平分第III象限角的一条射线
D.
平分第I、第III象限角的一条直线15.
已知抛物线的对称轴是到A（-3，0）和B（5，0）的距离相等的点的轨迹，则b的值是（）
A.
-4
B.
4
C.
-2
D.
2三.
解答题。16.
如图所示，已知⊙O和⊙O上一点A，求以点A为一端点的弦的中点的轨迹，并画出图形。
17.
如图所示，已知∠EAF，B是AE上一点，求作一个，使AB边上高线为2
cm，点C到AE，AF的距离相等。
18.
如图所示，一根小木棒两端A、B紧靠钢圈上，现小木棒A、B两端紧靠钢圈按逆时针方向滑动到A"B"位置上，使得A与B"重合，B与A"重合，且AB//A"B"，已知小木棒长为8cm，钢圈半径为5cm，求木棒中点P随之运动所经过的路程。19、在三角形ABC中
BC=6
AC=5
AB=4
过点A且与BC边相切的圆分别与AB、AC交于点DE
求线段DE长度的最小值3.3.3
证明四点共圆的基本方法1、利用圆的定义
根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径。
2、利用三角形的关系
(1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆；
(2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。
已知C、D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB。
求证：A，B，C，D四点共圆。
证明：如图7-39，过A，B，C三点作⊙O。
(1)如果D点在⊙O内部，则延长BD交⊙O于，连A。
∵∠=∠C，且∠ADB＞∠。∴∠ADB＜∠C，这与∠ADB=∠ACB矛盾。
因此D点不可能在⊙O的内部。
(2)如图7-40，如果D点在⊙O的外部，连AD，BD。则必有一条线段与⊙O相交，设BD与⊙O交于，连A。
∵∠AB=∠ACB，且∠D＜∠AB。
∴∠D＜∠ACB，这与∠ADB=∠ACB矛盾。
因此，D点不可能在⊙O的外部。
综上所述，D点必在⊙O上。
3、利用四边形的关系
(1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图7-41)；
(2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42)
4、利用线段的乘积式的关系
(1)线段AB，CD相交于P，且PA·PB=PC·PD，则A，B，C，D四点共圆。
证明：如图7-43，连AD，BC，AC。
在△APD和△BPC中，∵PA·PB=PC·PD，∴。
又∠APD=∠BPC，∴△APD∽△BPC。∴∠B=∠D，又B，D在线段AC同侧。
因此，A，C，B，D四点共圆。
(2)两线段AB，CD的延长线相交于P，且PA·PB=PC·PD，则A，B，C，D四点共圆(图7-44)。
例1、过正方形ABCD对角线BD上任一点P作边的平行线。其交点分别为E，F，G，H，证明这些交点在以对角线的交点O为圆心的圆上。
分析：由于P点选取的任意性及正方形ABCD顶点，对角线交点的固定性，应通过三角形全等证明OE=OF=OG=OH，根据圆的定义证明四点共圆。
证明：如图7-45，连OE、OF、OG、OH。
∵OA=OB=OC，∠OAH=∠OBE=∠OBF=∠OCG=45o，AH=BE=BF=CG。
∴△OAH≌△OBE≌△OBF≌△OCG。
∴OH=OE=OF=OG。
因此，E，F，G，H四点共圆。
例2、从一定点P向各同心圆作切线，求证各切点共圆。
分析：由于切线垂直于过切点的半径，因此条件中存在较多的垂直关系。可以考虑使用“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”进行证明。
证明：如图7-46，连。
∵∠OAP=∠OP=∠OBP=∠OP=90o，且都以OP为斜边，
∴A，B，，共圆。
例3、已知AB，CD是⊙O的弦，且AB∥CD，M为AB的中点，DM交⊙O于E，求证E，M，O，C四点共圆。分析：注意“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”与“同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆”的区别与联系。前者的直角可在斜边两侧，而后者的等角必须在同底的同侧。本题应使用后者进行证明。
证明：连OE，OM，OC，MC，反向延长OM与CD交于N，如图7-47所示。
∵AB∥CD，AM=BM，∴MC=MD，∠MCD=∠MDC。
又∠CME=∠MCD+∠MDC=2∠MDC，而∠COE=2∠MDC，∴∠CME=∠COE，且M，C在线段CE同侧。
因此E，M，O，C四点共圆。
例4、两圆交于A，B过B的直线交两圆于C，E，在BA的延长线上任取一点P，连PC，PE，交两圆于D，F。求证：P，D，A，F四点共圆。
分析：涉及到四边形时，可以考虑使用“如果四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆”，也可以考虑使用“如果四边的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆”。
证法1：如图7-48，由∠PDA=∠ABC，∠PFA=∠ABE，并且∠ABC+∠ABE=180o，所以∠PDA+∠PFA=180o。
因此P，D，A，F四点共圆。
证法2：由∠PDA=∠ABC，∠ABC=∠AFE，所以∠AFE=∠PDA。
因此P，D，A，F四点共圆。
例5、从⊙O外一点A作切线AB，AC过BC的中点M作弦PQ。求证：Q，P，A，Q四点共圆。
分析：使用相交弦定理的逆定理及割线定理的逆定理证明四点共圆较为困难。本题可以使用相交弦定理的逆定理进行证明。
证明：如图7-49连OB，则OB⊥AB，又BC⊥OA，所以根据射影定理，有AM·OM。
根据相交弦定理，有PM·QM=BM·CM=。
∴AM·OM=PM·QM。
根据相交弦定理的逆定理，有O，P，A，Q四点共圆。
例1、两个角的边交于点A、B、C、D(如图5-18)，已知这两角的平分线互相垂直。求证：A、B、C、D四点共圆。
证明：由题意可设∠AEM=∠MEB=，∠NMF=∠AME=，∠DAB是△EAM的外角，所以∠DAB=。因为EN⊥NF，所以∠EPN=90o－，∠NFM=90－=∠PFC。
又∠EPN与∠CPF是对顶角，∴∠CPF=∠EPN=90o－。∠BCD是△PCF的外角，∴∠BCD=∠PEC+∠CPF=(90o－)+(90o－)=。
于是∠DAB+∠BCD==180。
∴A、B、C、D四点共圆。
例2、O为△ABC内一点，BO、CO分别交AC、AB于D、E。如果BE·BA+CD·CA=。求证：A、D、O、E共圆。
证明：∵BE·BA+CD·CA=，∴BE·BA∠。①
故在线段BC上存在一点F(如图5-19)，使BE·BA=BF·BC。②
由①，得CD·CA=－BE·BA=(BF+FC)·BC－BF·BC，
即CD·CA=FC·BC。③
连AF，由②知A、C、F、E四点共圆。∴∠1=∠2。
又由③知A、B、F、D四点共圆。∴∠3=∠4。
∴∠BAC=∠1+∠3=∠2+∠4=COD。∴A、D、O、E四点共圆。
例3、如图5-20，设AD、BE、CF为△ABC的高，垂心为H，N、S、P分别为三边中点，G、T、M分别为AH、BH、CH的中点。求证：D、E、F、G、T、M、N、S、P九点共圆。
分析：对于多点共圆问题，要归结为四点共圆问题加以解决。所以，欲证九点共圆，可先证其中四点共圆。再证余下五点都在此圆周上。
证明：∵PS∥TM∥BC(PS=TM=BC)，
PT∥SM∥AH(PT=SM=AH)，又AD⊥BC，∴PTMS的矩形。
同理证TNSG也为矩形。故TS、NG、PM是同一个圆的三条直径。
又∠GDN=90o，∴D在此圆上。同理，E、F也在此圆上。故结论成立。
说明：本题是著名的“九点圆定理”，即：任意三角形三条高的垂足、三边的中点、以及垂心与三顶点连线的中点，这九个点共圆。其证明方法很多，上述是用四点共圆给以证明的。
例4、如果在凸五边形ABCDE中，∠ABC=∠ADE且∠AEC=∠ADB。求证：∠BAC=∠DAE。
分析：欲证∠BAC=∠DAE，如图5-21，在△ABC与△ADE中，已知∠CBA=∠ADE，故只须证明∠BCA=∠DEA即可。
证明：∵∠AEC=∠ADB，∴A、F、D、E四点共圆。
∴∠AFE=∠ADE，而∠ADE=∠ABC。∴∠AFE=∠ABC。∴A、B、C、F四点共圆。
于是，得∠BCA=∠BFA=∠DEA。
在△BCA与△DEA中，∵∠ABC=∠ADE，∠BCA=∠DEA，∴∠BAC=∠DAE。
例5、设⊙、⊙、⊙两两外切，M是⊙、⊙的切点，R、S分别是⊙、⊙与⊙的切点，连心线交⊙于P，交⊙于Q。求证：P、Q、R、S四点共圆。
分析：如图5-22，连结MR、PR，则∠PRM=90o，欲证P、Q、R、S四点共圆，设法证明∠PRS与∠Q互补即可。
证明：连结RM、PR、RS、SQ，并作切线RN，则在四边形PQSR中，∠Q=∠，
∠PRS=∠PRM+∠MRN+∠NRS=90o+∠P+∠
=90o+∠+∠，
∴∠Q+∠PRS=90o+(∠+∠+∠)=90o+90o=180o
∴P、Q、R、S四点共圆。例5、若凸四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，试证：该四边形四个顶点共圆。
分析：若题目中直接指明需证某四点共圆，则一般采用直接寻找共圆条件，以证得结果。
证：如图7－5，在四边形ABCD中引AE，BE使得∠1=∠2，∠3=∠4。
则△ABE∽△ACD，所以
即①
连结ED，由∠BAC=∠EAD及得△BAC∽△EAD，
因此
即②
①+②得
但由题设可知，故B，E，D三点共线，所以∠ABD=∠ACD。于是A，B，C，D四点共圆。
例2设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD，AE边于F，G，且(图3-35)。求证：四点共圆。
分析欲证F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定理，若能证出AF·AD=AG·AE成立，则F，D，E，G必共圆．
证：作交圆O于N，因为，则必为⊙O的直径，所以
∠FDN=∠FMN=90°，
所以F，D，N，M四点共圆，所以AD·AF=AN·AM．
同理，AG·AE=AN·AM，所以AD·AF=AG·AE，
所以F，D，E，G四点共圆．多点共圆问题
这里所说的多点共圆是指四点及四点以上的诸多点共圆问题，而其中四点共圆是基本技能，应立于善于将其灵活运用于解题实践之中；后者也很重要，其方法主要是先证其中四点共圆，然后证明其余各点均在这个圆上，另外，定义有时也能起到很大的作用。
例1、如图14-5所示，在△ABC的边AB、BC、CA上分别用黑点标出C1，A1和B1，它们都不是这些边的端点，现知有及∠BAC=∠B1A1C1，证明：黑点为顶点的三角形相似于△ABC。
分析、要证两三角形相似，已有∠BAC=∠B1A1C1，再设法找出另一对角相等即可。
证明：过C1作C1M∥AC，如图，连B1M，则，从而B1M∥AB。故四边形AC1MB1为平行四边形，∠B1A1C1=∠A=∠B1MC1。于是A1，C1、B、M四点共圆，∠A1B1C1=∠A1MC1。又C1M∥AC，故∠C=∠A1MC1=∠A1B1C1。因此△A1B1C1∽△ABC。
例2、如图14-6所示，ABCD是⊙O的内接四边形，延长AB和DC相交于E，延长AD和BC相交于F，EP和FQ分别切⊙O于P、Q。求证：EP2+FQ2=EF2。
分析、对于在解题中需证明某四点共圆的问题，是一个较难掌握的问题，一般只能按结论逐步推理。此例所要证明的结论中EP、FQ均在切线，此我们不妨从割线定理着手。证明：过B、C、E作⊙O1，交EF于G，连CG，因为∠FDC=∠ABC=∠CGE，故F、D、C、G四点共圆。于是可反复使用切割线定理，有
EP2=(EG+GF)·EF=EG·EF+GF·EF=EC·ED+FC·FB
=EP2+FQ2，即EF2=EP2+FQ2。
例3、如图14-7所示，设A为⊙O外一点，AB、AC和⊙O分别切于B、C，APQ为⊙O的一条割线。过B作BR∥AQ交⊙O于R，连CR交AQ于M，试证：A、B、C、O、M五点共圆。
分析、将五点共圆问题转化为四点共圆问题。
证明：连接OB、OC、BC，则OB⊥AB，OC⊥AC，故A、B、O、C四点共圆。由于BR∥AQ，故∠GRB=∠BAQ。而∠GBR=∠BCR，故∠BAQ=∠BCR。即∠BAM=∠BCM。于是A、B、M、C四点共圆。
但过A、B、C三点只能作一个圆，因此
，A、B、C、O、M五点共圆。
例4、AB为一圆O中的定弦，作⊙O的弦C1D1，C2D2，…，C1998D1998，对其中每个i(i=1，2，…，1998)CiDi都被弦AB平分于M，过Ci，Di作⊙O的切线，两切线交于点PI。求证：P1，P2，…，P1998在同一个圆周上。
分析、如图14-8所示，这是证明1998个点的共圆问题，不便考察，先取定一点PI，看它与三个定点A、B、O存在什么关系。
证明：先取一条弦CIDI(I=1，2，…，1998)来研究。
因A、B、CI、DI在⊙O上，且MI为AB与CIDI的交点，故有
CIMI·DIMI=AMI·BMI，①
又因PICI、PIDI为⊙O的切线，易证O，CI，PI，DI四点共圆，且OPI与CIDI也交于MI，故有
CIMI·DIMI=OMI·PIMI。②
由①、②得AMI·BMI=OMI·PIMI。
于是PI，O，A、B四点共圆，即PI在△OAB的外接圆上，亦即点P1，P2，…，P1998在△OAB的外接圆上。
例7、如图5-24，AB、CD是圆的两条弦，延长AC、BD交于P。求证：△PAB与△PCD的外心，垂心四点共圆。
分析：易知△PAB∽△PDC。设△PAB的垂心为，外心为，△PCD的垂心为，外心为，于是有P∶P=P∶P，因此只需证明P、、共线及P、、共线，命题就可获证。
证明：如上所设是△PAB的垂心，是△DPC的外心。
∴∠PA+∠BAP=90o，∠PC+∠CP=90o。
而∠CDP=CP，∴∠PC+CDP=90o。又∵CDP=BAP，∴PA=∠PC。
∴、、P三点共线。同理，、、P三点共线。
又∵△PAB∽△PDC，∴，。
∴、、、四点共圆。
例8、设AB为定⊙O中的定弦，作⊙O的弦，对其中每一i(i=1，2，…，1988)，都被AB平分于，过分别作⊙O的切线，两切线交于点。求证：共圆。
证明：对每个i(i=1，2，…，1988)，连结。如图5-25。
∵均被AB平分于，∴。
又分别切⊙O于，∴O、、、四点共圆，且O过。
∴。故。
∴和O、A、B共圆。
而O、A、B为定点，所以在△ABO的外接圆上，即共圆。多圆共点问题
所谓多圆共点问题，就是证几个圆同时过某一点。证明多圆共点问题通常有以下两种方法：
(1)先证两圆相交(切)于某点，然后证此点在其它圆上，即把这类问题转化为多点共圆的情形。
(2)找出某一定点，然后证明该点在这多个圆上，这里定点一般为特殊点。
例1、四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F两点，求证：所成的四个三角形：△ABF、△ADE、△CDF、△BCE的外接圆共点。
分析、如图14-9所示，两个较大的三角形的外接圆交于A、P两点；显然两个较小的三角形的外接圆不能过点A。故应设法证明四个外接圆过点P。
证明：设P是△ABF与△ADE外接圆的另一交点，连结PA、PB、PE。
因A、B、P、F四点共圆，故∠PBF=∠PAF。
又因A、E、P、D四点共圆，故∠DEP=∠PAF。从而∠PBF=∠DEP，E、B、C、P四点共圆，即P在△BCE的外接圆上。同理，P在△CDF的外接圆上。因此，△ABF、△ADE、△CDF、△BCE的外接圆共点P。
证明若干个圆共点常用的方法主要有以下二个：
(1)先证其中两圆相交(或相切)于某点，然后证明此点在其它圆上，即把圆共点的问题转化为共圆点问题。
(2)找出某一定点，然后证明该点在诸所设圆上(这定点一般为特殊点)。
例8、如图7－8，在△ABC的各边上向外各作一个正三角形BCD，CAE，ABF。证明：这三个正三角形的外接圆共点。
证：设△CAE与△ABF的外接圆交于O点，连接AO，BO，CO。因为∠AOC+∠E=180o，∠AOB+∠F=180o，∠E=∠F=60o，所以∠AOC=360o－∠AOC－∠AOB=120o，∠D=60o，故∠BOC+∠D=180o。
因此，O，B，D，C四点共圆，即△BCD的外接圆通过O点。于是△BCD，△CAE，△ABF的外接圆共点。
例9、如图7－9，I为△ABC的内心，过B作圆与直线CI相切于I点，又过C作圆与直线BI相切于I点，求证：所作两圆与△ABC的外接圆共点。
证：因为，所以⊙和⊙的另一个交点D必在∠BIC内部。连接DI，DB，DC。
由于
所以
，
即。
因此，A，B，D，C四点共圆。故△ABC的外接圆通过D点，于是，所说的三圆共点。练习
1．设梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别在腰AD和BC上，若A，B，F，E四点共圆，则C，D，E，F也必四点共圆．
2．四边形EFGH的顶点顺次在四边形ABCD的各边上，并且AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH．求证：E，F，G，H四点共圆．
1、设△ABC为正三角形，BC、AC上分别有一点D、E，且BD=CD，CE=AE，BE、AD相交于P。求证：P、D、C、E四点共圆，且AP⊥CP。
2、设△ABC的BC边的垂直平分线与∠BAC的平分线相交于D，求证：A、B、C、D四点共圆。
3、如图，两圆相交，过一交点A引两圆的直径AB、AC，交两圆于E、F，过B、E及C、F的直线交两圆于P、Q、R、S。求证：P、S、Q、R四点共圆。
4、在△ABC中，过B、C分别作∠BAC的平分线为垂线，E、F的垂足，AD⊥BC于D，M为BC中点。求证：M、E、D、F四点共圆。
5、如图，D是△ABC的BC边上的一点，和分别为△ABC、△ADB和△ADC外接圆的圆心。求证：A、
、、四点共圆。
6、在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AH⊥BC于H，S为AH的中点，过S点作各边的平行线与三边交于P、Q、K、L、M、N，如图。求证：P、Q、K、L、M、N六点共圆。
7、设ABCD为平行四边形，∠ABC＞90o，O为其对角线交点，自点D作对对角线AC的垂线，垂足为，自点D作AB边垂线，垂足为，自点D作BC边的垂线。垂足为。求证：O、、、共圆。
8、已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，且=AB·CD+BC·AD。求证：A、B、C、D四点共圆。
教材部分答案第一章
数与式
1.1.1．绝对值
1．（1）；
（2）；或
2．D3．3x－18
1.1.2．乘法公式
1．（1）
（2）
（3）
2．（1）D
（2）A
1.1.3．二次根式
1．
（1） （2） （3） （4）．
2．C3．1
4．＞
1.1.4．分式
1．2．B
3．
4．
1.2
因式分解
略
第二章
二次方程与二次不等式
略
第三章
三角形与圆
3.1
相似形
练习1
1．D2．设，即.
3．
4．作交于，则，又得.
5．作交于，即.练习2
1．
2．12，18
3．
4．（1）因为所以是平行四边形；（2）当时，为菱形；当时，为正方形.
5．（1）当时，；（2）.
习题3.1
A组
1．B
2.B
3.
4．为直角三角形斜边上的高，，又可证.
B组
1．C2.C3.A
4．（1）.（2）（3）由（2）知
C组
1.(1)或.(2).
2．（1）先证，可得；（2）.
3．连交于，连，为等腰直角三角形，且AEDF为矩形，为斜边的中线，为直角三角形.又可证，得，故为等腰直角三角形.
4．（1）成立，（2），证略.
3.2.2解写三角形练习答案1．
A2．
A
3．
B
4．
5．
6．
或7．
8．
设∠AOB=θ，θ=
时，S最大值
=2+点的轨迹
参考答案
一.
填空题。1.
以点P为圆心，6cm为半径的圆2.
线段AB的中垂线（除AB中点外）3.
以O为圆心，半径为6
cm的圆4.
与直线平行，且到的距离等于5
cm的两条直线5.
与直线平行，且到的距离等于2
cm的两条直线6.
与平行，且到的距离都等于2的一条直线7.
对角线AC（不包括A点）8.
以O为圆心，为半径的圆9.
10.
二.
选择题。11.
C
12.
D
13.
C
14.
D
15.
A
三.
解答题。16.
所求轨迹是以AO为直径的圆（A点除外）17.
作∠EAF的平行线，再在∠EAF内部作与AE平行，且到AE的距离2
cm的一条平行线，交点就是所求的点
C。18.
点P的轨迹是以O为圆心，3
cm为半径的半圆
∴经过的路程为19、根据余弦定理：
cosA
=(b2+c2-a2)/2bc
=1/8
sinA=3/8
根据正弦定理：
DE=2RsinA
由此，只需使R取到最小值。
圆心到点A和线段BC的距离都等于R
那么圆心的轨迹是以A为焦点，直线BC为准线的一段抛物线。
根据抛物线的性质，顶点到准线的距离最短
那么圆心位于BC边的高上时，R取最小值。
2R=h=2S(ABC)/BC=AB·AC·sinA/BC=5/4
所以DE=(5/4)·3/8=105/32为最小值。四点共圆答案
1、由△ABD≌△BCE，得∠BAP=∠CBE；由∠DPB=60o=∠DCE，得P、D、C、E共圆，易证AP⊥CP。
2、作△ABC的外接圆⊙O，则BC的垂直平分线必过O，且平分。设BC的垂直平分线与交于，则为的中点，连A，所以A平分∠BAC。但是AD是∠BAC的平分线，所以AD与A重合，又二直线相交只有一个交点，所以D与重合，故结论成立。
3、设BE、CF相交于H，由B、C、E、F共圆得BH·HE=CH·HF，由相交弦定理，得BH·HE=SH·HR，CH·HF=PH·HQ，∴PH·HQ=SH·HR。故结论成立。
4、连结ME、MF、DE，只须证∠MEF=∠MDE。由AF平分∠BAC，CF⊥AF，由对称性知，若延长CF交AB于G，则F为CG的中点。又M为BC的中点，故FM∥GB，于是∠MFE=∠BAE。因而只须证∠BDE=∠BAF，即证A、B、C、D四点共圆即可。
5、连A、、、，得、、分别垂直平分AB、AC、AD，故由∠+∠A=180o得证结论。
6、连结QK、ML、QL、KM，则QKLM为矩形，故Q、K、L、M共圆，且KM、LQ为圆的直径，又∠KNM=90o=∠KLM，故K、L、M、N在以KM为直径的圆周上，同理，Q、K、L、P在以QL为直径的圆周上。
7、略。
8、设H为AC、BD的交点，则证得AC·BD=AB·CD+BC·AD，故A、B、C、D四点共圆。
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