《解析几何》教案 本文简介：
《解析几何》教案第一章?向量与坐标本章教学目的：通过本章学习，使学生掌握向量及其运算的概念，熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础.本章教学重点：（1）向量的基本概念和向量间关系
《解析几何》教案 本文内容：
《解析几何》教案
第一章?
向量与坐标
本章教学目的：通过本章学习，使学生掌握向量及其运算的概念，熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础.
本章教学重点：
（1）向量的基本概念和向量间关系的各种刻划。（2）向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示.
本章教学难点：?（1）向量及其运算与空间坐标系的联系；（2）向量的数量积与向量积的区别与联系；（3）向量及其运算在平面、立体几何中的应用.
本章教学内容：
?
1.1
向量的基本概念
?
一、定义：既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移等.
二、表示：在几何上，用带箭头的线段表示向量，箭头表示向量的方向，线段长度代表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（长度）.
始点为A，终点为B的向量，记作，其模记做.
注：为方便起见，今后除少数情形用向量的始、终点字母标记向量外，我们一般用小写黑体字母a、b、c……标记向量，而用希腊字母λ、μ、ν……标记数量.
三、两种特殊向量：
1、零向量：模等于0的向量为零向量，简称零向量，以0记之.
注：零向量是唯一方向不定的向量.
2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量.特别地，与非0向量同向的单位向量称为的单位向量，记作.
四、向量间的几种特殊关系：
1、平行（共线）：向量a平行于向量b，意即a所在直线平行于b所在直线，记作a∥b，规定：零向量平行于任何向量.???
2、相等：向量a等于向量b，意即a与b同向且模相等，记作a=b.
注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自由向量，我们以后提到的向量都是指自由向量.
3、反向量：与向量a模相等但方向相反的向量称为a的反向量，记作-a，显然，
?，零向量的反向量还是其自身.
4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量.易见，任两个向量总是共面的，三向量中若有两向量共线，则三向量一定共面，零向量与任何共面向量组共面.
注意：应把向量与数量严格区别开来：
?①向量不能比较大小，如没有意义；?②向量没有运算，如类似的式子没有意义.
?
1.2
向量的加法
一?
向量的加法：
定义1??
设、，以与为邻边作一平行四边形，取对角线向量，记，如图1-1，称为与之和，并记作
???????
?
???????????????????
???（图1-1）
这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的平行四边形法则.
如果向量与向量在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量：
若与的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和.
若与的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差的绝对值，其方向与模值大的向量方向一致.
由于平行四边形的对边平行且相等，可以这样来作出两向量的和向量：
定义2
作，以的终点为起点作，联接（图1-2）得
????????????????
（1-2）
该方法称作向量加法的三角形法则.
???????????????
??
?????????????????????????????????
（图1-2）
向量加法的三角形法则的实质是：
将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的尾的连线就是两向量的和向量.
据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律：
定理1
向量的加法满足下面的运算律：
1、交换律?????????
,???????????????????????
（1.2-2）
2、结合律?????????
.??????
???????
（1.2-3）
证
交换律的证明从向量的加法定义即可得证.
下证结合律
.自空间任一点O开始依次作则有
??
??
，
所以??
.
由定理1知，对三向量相加，不论其先后顺序和结合顺序如何，结果总是相同的，可以简单的写作.
二?
向量的减法
定义3?
若，则我们把叫做与的差，记为
显然，??????????????
,
特别地，????????????
.
由三角形法则可看出：要从减去，只要把与长度相同而方向相反的向量加到向量上去.由平行四边形法可如下作出向量.设、，以与为邻边作一平行四边形，则对角线向量.
例1
设互不共线的三向量、与，试证明顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量.
证
必要性
设三向量、、可以构成三角形（图1-3），????????????????????
???????????????
（图1-3）
，????
????
那么,
?????????????????????????????????
即????
.???????????????
充分性
设，作那么，所以，从而，所以、、可以构成三角形.
例2
用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证
设四边形的对角线、交于点且互相平分（图1-4）
因此从图可看出：，???
所以，∥，且，即四边形为平行四边形.
????
???????????????????????
（图1-4）
1.3
数量乘向量
?
定义1.3.1?
设是一个数量，向量与的乘积是一向量，记作，其模等于的倍，即；且方向规定如下：当时，向量的方向与的方向相同；当时，向量是零向量，当时，向量的方向与的方向相反.
特别地，取，则向量的模与的模相等，而方向相反，由负向量的定义知：
.
据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律：
定理1.3.1.
数量与向量的乘法满足下面的运算律：
1)?????????????????
1·=
2)结合律???????????
,?????????????(1.3-1)
3)分配律
,?????????????
(1.3-2)
4)?????????????????????
.?????????
???
(1.3-3)
证
1)据定义显然成立.
2)显然，向量、、的方向是一致，
且
?=
?==
.
3）分配律
如果或中至少有一个为0，等式显然成立；
反之
ⅰ)若?,
显然同向，且
?
所以
ⅱ）若不妨设
若则有由ⅰ)可得，
所以
对的情形可类似证明.
一个常用的结论：
定理3.
若(
为数量
)，则向量与向量平行，记作；反之，若向量与向量平行且，则(
是数量).
设是非零向量，用表示与同方向的单位向量.
由于与同方向，从而与亦同方向，而且,
即???
.
我们规定：若，
.
于是?
.
这表明：一个非零向量除以它的模是一个与原向量同方向的单位向量.
请注意：向量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子改写成形式?
.
十分显然，这种错误是受实数运算法则的“惯性作用”所造成.
例1
设AM是三角形ABC的中线，求证?
.
（图1-5）
证
如图1-5，
因为
，
所以?
????
但?
因而
，
即
.
例2
用向量法证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.
证?
设△ABC两边AB,AC中点分别为M，N，则
所以，且.
1.4
向量的线性关系与向量的分解
定义1.4.1
由向量与数量所组成的向量叫做向量的线性组合,或称可以用向量线性表示,或称可以分解成向量的线性组合.
定理1.4.1?
如果向量，那么向量与向量共线的充要条件是可用向量线性表示，即存在实数使得?，????????????????????
(1.4-1)
并且系数被，唯一确定.
证
若成立，那么由定义1.3.1知向量与向量共线.反之，如果向量与向量共线，那么一定存在实数使得（见1.3节中1.3.5的证明）.
再证的唯一性：如果，那么，而
，所以，.
定理1.4.2?
如果向量不共线，那么向量与共面的充要条件是可用向量线性表示，即
?
，???????????????????
(1.4-2)
并且系数被，唯一确定.
证：
???
????（图1-6）
因与不共线，由定义1.1.4知.设与中之一共线，那么由定理1.4.1有，其中中有一个为零；如果与都不共线，
把它们归结共同的始点，并设，，，那么经过的终点分
别作的平行线依次交直线于（图1-6），因，由定理?1.4.1，可设，所以由平行四边形法则得，即.
反之，设，如果中有一个为零，如，那么与共线，因此与共面.如果，那么，从向量加法的平行四边形法则知与都共面，因此与共面.
最后证的唯一性.因为=，
那么???????????????????
，
如果，那么，将有，这与假设矛盾，所以.同理
，这就证明了唯一性.
定理1.4.3?
如果向量不共面，那么空间任意向量可以由向量线性表示，即存在一组实数使得?????????????????????
，?????????????????
(1.4-3)
并且系数x,y,z被，唯一确定.
证明方法与定理1.4.2类似.
定义1.4.2
对于个向量，若存在不全为零的实数，使得
，??????????????
(1.4-4)
则称向量线性相关.
不是线性相关的向量叫做线性无关，即向量线性无关：.
定理1.4.4
在时，向量线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.
证
设向量线性相关，则存在不全为零的实数使得
，且中至少有一个不等于0，不妨设，则?????????????
?；
反过来，设向量中有一个向量，不妨设为，它是其余向量的线性组合，即
???????????????????
?，
即???????????????
.
因为数，-1不全为0，所以向量线性相关.
定理1.4.5?
如果一组向量中的部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关.
证?
设中有一部分，不妨设前r个向量线性相关，即存在不全为零的实数，使得.则有，因为不全为零，所以线性相关.
推论?如果一组向量中含有零向量，那么这一组向量就线性相关
类似地可证明下面的定理：
定理1.4.6???
两向量与共线线性相关.
定理1.4.7???
三向量与共面线性相关.
定理1.4.8???
空间任意四个或四个以上的向量总是线性相关的.
例1
试证明：点在线段上的充要条件是：存在非负实数，，使得，且，其中是任意取定的一点.
证（先证必要性）设在线段上，则与同向，且，
所以
，.
任取一点所以，
所以，.
取，，则，，.
（充分性）若对任一点有非负实数，，使得，且????????????
则??????
，
所以与共线，即在直线上.又，
所以在线段上.
例2设为两不共线向量，证明，共线的充要条件是.
证
共线,线性相关，
即存在不全为0的实数，使，????
?????????(1.4-5)
即???????????????????
.
又因为不共线
即线性无关，故方程有非零解???????????????????????.
1.5
标架与坐标
一
空间点的直角坐标:
平面直角坐标系使我们建立了平面上的点与一对有序数组之间的一一对应关系，沟通了平面图形与数的研究.
为了沟通空间图形与数的研究，
我们用类似于平面解析几何的方法，通过引进空间直角坐标系来实现.
1、空间直角坐标系
过空间一定点，作三条互相垂直的数轴，它们以为原点，且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴)，且统称为坐标轴.
通常把轴，轴配置在水平面上，而轴则是铅垂线，它们的正方向要符合右手规则：
????????????????????????
(图1-7)
右手握住轴，当右手的四个指头从轴的正向以角度转向轴正向时，大拇指的指向就是轴正向.
三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点叫做坐标原点.
注：为使空间直角坐标系画得更富于立体感，通常把轴与轴间的夹角画成左右.当然，它们的实际夹角还是.
2、坐标面与卦限
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面.
由轴与轴所决定的坐标面称为面，另外还有面与面.
三个坐标面把空间分成了八个部分，这八个部分称为卦限.
????????????????????????
(图1-8)
3、空间点的直角坐标
取定空间直角坐标系之后，我们就可以建立起空间点与有序数组之间的对应关系.
设为空间的一已知点，过点分别作垂直于轴、轴、轴的三个平面，它们与轴、轴、轴的交点依次为，这三点在轴、轴、轴的坐标依次为，于是：空间点就唯一地确定了一个有序数组，这组数叫点的坐标.
依次称，，为点的横坐标、纵坐标和竖坐标，记为.
反过来，若已知一有序数组，我们可以在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，在轴取坐标为的点，然后过、、分别作轴、轴、轴的垂直平面，这三个平面的交点就是以有序数组为坐标的空间点.
这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点和有序数组之间的一一对应关系.
定义1
?我们把上面有序数组叫点在此坐标系下的坐标，记为.
二
空间两点间的距离公式
定理1?
设、为空间的两点，则两点间的距离为
????????
(1.5-1)
证
过、各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方体，如图所示
?
??????????????????????????????????????????????
(图1-9)
是直角三角形，
故，
因为是直角三角形，
故，
从而????????????
；
而???????????????
，
，
，
故??????????
.
特别地，点与坐标原点的距离为
.
三
空间向量的坐标
定义2?
设是与坐标轴，同向的单位向量，对空间任意向量都存在唯一的一组实数，使得，那么我们把这组有序的实数，叫做向量在此坐标系下的坐标，记为或.
定理2
?设向量的始终点坐标分别为、，那么向量的坐标为
.?????
(1.5-2)
证
由点及向量坐标的定义知，
所以
???????????????????????
=.
由定义知????????????
.
定理3
?两向量和的分量等于两向量对应的分量的和.
证
设，，那么
=+
=，
所以????????
.??????????????
(1.5-3)
类似地可证下面的两定理：
定理4
?设，则.
定理5?
设，，则共线的充要条件是
?????????????????????
.??
????????????????????(1.5-4)
定理6
?三非零向量，，共面的充要条件是?.????????????????????
(1.5-5)
证
因为不共面，所以存在不全为0的实数使得，
由此可得??因为不全为0，所以.
?
1.6
向量在轴上的射影?
?
一、空间点在轴上的投影：
设已知点及轴，过点作轴的垂直平面，则平面与轴的交点叫做点在轴上的投影.
???????????????????????
(图1-10)
二、向量在轴上的投影：
定义1
设向量的始点与终点在轴的投影分别为、，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记作，轴称为投影轴.
???????????????????????????
(图1-11)
这里，的值是这样的一个数：
(1)即，
数的绝对值等于向量的模.
(2)当的方向与轴的正向一致时，；当的方向与轴的正向相反时，.
三、空间两向量的夹角：
设有两向量、交于点(若、不相交，可将其中一个向量平移使之相交)，将其中一向量绕点在两向量所决定的平面内旋转，使它的正方向与另一向量的正方向重合，这样得到的旋转角度(限定)称为、间的夹角，记作.
???????????????????????????????
(图1-12)
若、平行，当它们指向相同时，规定它们之间的夹角为；当它们的指向相反时，规定它们的夹角为.
类似地，可规定向量与数轴间的夹角.
将向量平行移动到与数轴相交，然后将向量绕交点在向量与数轴所决定的平面内旋转，使向量的正方向与数轴的正方向重合，这样得到的旋转角度称为向量与数轴的夹角.
四?
投影定理：
定理1.6.1?
向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦.即
,?????????????
(1.6-1)
?????????????????
(图1-13)
证
过向量的始点引轴，且轴与轴平行且具有相同的正方向，那未轴与向量的夹角等于轴与向量的夹角，而且有
故???????????????????
由上式可知：向量在轴上的投影是一个数值，而不是向量.
当非零向量与投影轴成锐角时，向量的投影为正.
定理1.6.2?
对于任何向量都有.?????????
(1.6-2)
证
取，那么，设分别是在轴上的投影，那么显然有??????
，
因为??????????
所以????????????????
，
即???????????????????
.
类似地可证下面的定理：
定理1.6.3?
对于任何向量与任何实数有
.??????????????
(1.6-3)
?
?
1.7
两向量的数性积
?
定义1.7.1
?对于两个向量a和b,
把它们的模|a|,|b|及它们的夹角q
的余弦的乘积称为向量和的数量积,
记作ab,即??????????
ab=|a||b|cosq
.
由此定义和投影的关系可得?ab=|b|Prjb
a=|a|Prjab
.
数量积的性质:
(1)
a·a=|a|
2,记a·a=a
2，则a2=|a|
2.
(2)
对于两个非零向量
a、b,
如果
a·
b=0,
则
a^b;
反之,
如果a^b,
则a·
b=
0.
定理1.7.1?
如果认为零向量与任何向量都垂直,
则a^
b?
a·
b=
0.
定理1.7.2?
数量积满足下面运算律：
???
(1)交换律:
?a·
b=
b·a;
???
(2)分配律:(
?a+b)×c=a×c+b×c
.
???
(
(3)la)·
b=
a·(lb
)=
l(a·b),
??????
(la)·(mb
)=lm(a·b),
l、m为数.
证
（1）由定义知显然.
(2)的证明:?
因为当c=0时,
上式显然成立;
???
当c10时,
有
?
??????????????????(a+b)×c=|c|Prjc(a+b)
??????????????????????????
=|c|(Prjca+Prjcb)
??????????????????????????
=|c|Prjca+|c|Prjcb
??????????????????????????
=a×c+b×c
.
??
（3）可类似地证明.
例1
试用向量证明三角形的余弦定理.
证
设在ΔABC中,
∠BCA=q,||=a,
||=b,
||=c,?
要证
?????????
??????????c
2=a
2+b
2-2
a
b
cos
q
.
????
记=a,
=b,
=c,
?则有
c=a-b,
从而
???
|c|2=c
×
c=(a-b)(a-b)=a2-2×ab+b2=|a|2+|b|2-2|a||b|cos(a,^b),
即?????
c
2=a
2+b
2-2
a
b
cos
q
.
数量积的坐标表示
:
??
?定理1.7.3??
设a={ax,
ay,
az
},
b={bx,
by,
bz
},
则
???????????
?????????????a·b=axbx+ayby+azbz
.
证??????
?a·
b=(
ax
?i+
ay
j
+
az
k)·(bx
i
+
by
j
+
bz
k)
???????????????????
=ax
bx
i·i
+
ax
by
i·j
+
ax
bz
i·k
????????????????????
+ay
bx
j
·i
+
ay
by
j
·j
+
ay
bz?
j·k
????????????????????
+az
bx
k·i
+
az
by
k·j
+
az
bz
k·k
????????????????????
=
ax
bx
+
ay
by
+
az
bz
.
定理1.7.4?
设a={},则向量a的模
???????????????????
|a|=.
证
由定理1.7.2知
|a|2=a2=，
所以????????????????????
|a|=.
向量的方向角和方向余弦：向量与坐标轴所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦.
定理1.7.5
设a={}，则a的方向余弦为
??????????
cos=,
cos,
cos；
且????????????
，
其中分别是向量a与x轴，y轴,z轴的夹角.
证
因为????
?ai=|a|cos且ai=，
所以??????????????????
|a|cos=，
从而??????????????????
cos=.
同理可证?????????
cos
?
cos
且显然????????????
两向量夹角的余弦的坐标表示:
???
定理1.7.6
?设q=(a,
^
b),
则当a10、b10时,
有
.
证
?因为???
a·b=|a||b|cosq
，所以
.
??
?例2
?已知三点M
(1,1
,1)
、A
(2,2
,1)
和B
(2,1
,2)
,
求DAMB
.
??
?解?
从M到A的向量记为a,
从M到B的向量记为b,
则DAMB
就是向量a与b的夹角
.
?????????????????
a={1,1
,0}
,
b={1,0
,1}
.
因为
??????????????????
a×b=1′1+1′0+0′1=1,
??????????????????????
,
??????????????????????
.
所以????????????????
.
从而???
.
1.8
两向量的向量积
定义1.8.1
?两个向量a与b的向量积(也称外积)是一个向量,记做a′b或,它的模|a′b|
=|a||b|sin?,它的方向与a和b垂直,
并且按a,b,
a′b确定这个顺序构成右手标架｛O;a,b,a′b｝.
???
从定义知向量积有下列性质：
???
(1)
a′a=0
;
(2)
对于两个非零向量a，b,
如果a′b=0,
则a//b；反之,
如果a//b,
则a′b
=
0.
定理1.8.1
两不共线向量a与b
的向量积的模,等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积.
定理1.8.2?
两向量a与b共线的充要条件是a′b=0.
证
当a与b共线时，由于sin(a、b)=0，所以|a′b|=|a||b|
sin(a、b)=0，从而a′b=0；反之，当a′b=0时，由定义知，a
=0
，或b
=0，或a//b，因零向可看成与任向量都共线，所以总有a//b，即a与b共线.
定理1.8.3
?向量积满足下面的运算律:
???
(1)
反交换律???????????
a′b=-b′a，;
???
(2)
分配律
?????????(a+b)′c=a′c+b′c，
???
(3)
数因子的结合律???
(la)′b=a′(lb)=l(a′b)?
(l为数).
证
（略）.
推论:??
c′
(a+b)
=
c
′
a+
c
′b
定理1.8.4
?设a
=
ax
i
+
ay
j
+
az
k,
b
=
bx
i
+
by
j
+
bz
k，则
?a′b=(aybz
-azby)i+(azbx
-axbz)j+（axby
-aybx）k.
证
由向量积的运算律可得
a′b=(ax
i+ay
j+az
k)′(bx
i+by
j
+bz
k)
=axbx
i′i+axby
i′j
+axbz
i′k
+aybx
j′i+ayby
j′j+aybz
j′k+azbx
k′i+azby
k′
+azbz
k′k.
由于
i′i=j′j=k′k=0,
i′j=k,
j′k=i,
k′i=j,
所以
a′b=(aybz
-azby)i+(azbx
-axbz)j+（axby
-aybx）k.
???
为了帮助记忆,
利用三阶行列式符号,
上式可写成
=aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbzj-azbyi
=(ay
bz
-az
by)i+(az
bx
-ax
bz)j+(ax
by
-ay
bx)k.
.
例1
设a=(2,
1,
-1),
b=(1,-1,
2),
计算a′b
.
解??????
==2i-j-2k-k-4j-i
=i-5j
-3k.
???
例2?
已知三角形ABC的顶点分别是A
(1,
2,
3)、B
(3,
4,
5)、C
(2,
4,
7),
求三角形ABC的面积.
???
解?
根据向量积的定义,
可知三角形ABC的面积
.
由于=(2,
2,
2),
=(1,
2,
4),
因此
=4i-6j+2k.
于是
.
?
???
例3
?设刚体以等角速度w
绕l
轴旋转,
计算刚体上一点M的线速度.
???
解?
刚体绕l
轴旋转时,
我们可以用在l
轴上的一个向量n表示角速度,
它的大小等于角速度的大小,
它的方向由右手规则定出:
即以右手握住l
轴,
当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时,
大姆指的指向就是n的方向.
???
设点M到旋转轴l的距离为a
,
再在l轴上任取一点O作向量r
=,
并以q
表示n与r的夹角,
那么
a
=
|r|
sinq
.
设线速度为v,
那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知,
v的大小为
|v|
=|
n|a
=
|n||r|
sinq
;
v的方向垂直于通过M点与l轴的平面,
即v垂直于n与r,
又v的指向是使n、r、v符合右手规则.
因此有
v
=
n′r.
?
?
?
1.9
三向量的混合积
?
??
定义1.9.1
?给定空间的三个向量，我们把叫做三向量的混合积，记做或.
定理1.9.1??
三个不共面向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，并且当构成右手系时混合积为正；当构成左手系时混合积为负,也就是=当构成右手系时,当构成左手系时.
证
由于向量不共面，所以把它们归结到共同的试始点可构成以为棱的平行六面体，它的底面是以为边的平行四边形，面积为，它的高为，体积是.
根据数性积的定义，
其中是与的夹角.
当构成右手系时，，，因而可得
??????????????????????
.
当构成左手系时，，，因而可得
??????????????????????
.
定理1.9.2?
三向量共面的充要条件是.
证
若三向量共面，由定理1.9.1知，所以，从而.
反过来，如果，即，那么根据定理1.7.1有，另一方面，有向性积的定义知，所以共面.
定理1.9.3
?轮换混合积的三个因子，并不改变它的值；对调任何俩因子要改变混合积符号，即
.
证
当共面时，定理显然成立；当不共面时，混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，又因轮换的顺序时，不改变左右手系，因而混合积不变，而对调任意两个之间的顺序时，将右手系变为左，而左变右，所以混合积变号.
推论:
?.
定理1.9.4
?设，，，那么
????????????????????
.
证
由向量的向性积的计算知
???????????
???，
再根据向量的数性积得
==
????
=.
推论:??
三向量共面的充要条件是
?????????????????????
???.
例1???????????
设三向量满足，证明：共面。
证明：由两边与做数量积，得：
??????
，
且，
所以，即共面。
例2??????????
已知四面体的顶点坐标，，，，求它的体积。
解：
?，，
，
所以，
1.10三向量的双重外积
?
?定义1.10.1?
给定空间三向量，先做其中两个的向量积，再把所得的向量与第三个向量做向量积，那么，最后的结果仍然是一个向量，叫做三个向量的双重向量积。
就是三向量的一个双重向量积。且与都垂直，与
也垂直，所以和共面。
定理1.10.1
????????（1.10.1）
证?
若中有一个是零向量，或共线，或与都垂直，则（1.10.1）两边都是零向量，定理显然成立。
现设都为非零向量，且不共线，为了证明（1.10.1）成立，先证
?
（1）
由于共面，而不共线，故可设，??
（2）
（2）式两边分别与作数量积可得
，
，
解得，即（1）式成立。
下证（1.10.1）成立。由于不共面，对任意，可设，
则有
利用（1）式可得。
例1.?????????
试证:
证明：
??????
?
三式相加得。
例2．
证明：
???????????????????????????
证明：设，则
????
??????????????????????
??????????
??????????????
小??
结
知识点回顾：?
解析几何的基本思想就是用代数的方法来研究几何问题，为了把代数运算引到几何中来，最根本的做法就是把空间的几何结构有系统地代数化，数量化。因此在本章中主要引入了向量及它的运算，并通过向量了坐标系，从而使得空间中的点都和三元有序数组建立了一一对应的关系，为空间的几何结构代数化打好了基础。
通过本章的学习，应掌握向量及其各种运算的概念，熟练掌握线性运算和非线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某些几何问题，如利用两向量的数量积为零来判断各种垂直关系，两向量的向量积为零向量来判断各种平行问题，三向量的混合积为零来判断共面问题，以及在空间直角坐标系下，利用向量积的模求面积，混合积来求体积等问题。
1.向量加法的运算规律：
??
??（1）?????
,???????????????????????
（2）????
.
（3）?????
（4）?????
??????
2.数乘的运算规律：
?????
（1）?????
1·=
??????
（2）????
,?????????????????
（3）???
（4）??????
.???????????
??????
3.?
两向量的数量积
（1）ab=|a||b|cosq
.
（2）a^
b?
a·
b=
0.
（3）在空间直角坐标系下，设a={ax,
ay,
az
},
b={bx,
by,
bz
},
则
????????????????????????
a·b=axbx+ayby+azbz
.
??????
4．两向量的向量积
???????
（1）两个向量a与b的向量积(也称外积)是一个向量,记做a′b或,它的模|a′b|
=|a||b|sin?,它的方向与a和b垂直,
并且按a,b,
a′b确定这个顺序构成右手标架｛O;a,b,a′b｝
（2）两向量a与b共线的充要条件是a′b=0..
（3）在空间直角坐标系下
设a
=
ax
i
+
ay
j
+
az
k,
?b
=
bx
i
+
by
j
+
bz
k，则
?a′b=(aybz
-azby)i+(azbx
-axbz)j+（axby
-aybx）k.
（4）两不共线向量a与b
的向量积的模,等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积
?????
?5.三向量的混合积
??????
??????（1）三个不共面向量的混合积的绝对值等于以为棱的平行六面体的体积，并且当构成右手系时混合积为正；当构成左手系时混合积为负,也就是=当构成右手系时,当构成左手系时.
?????
?
（2）三向量共面的充要条件是.
??????
（3）在空间直角坐标系下设，，，那么
????????????????????
.
典型习题
1.
已知四面体ＡＢＣＤ的顶点坐标Ａ（４，３，０），Ｂ（６，０，６），
Ｃ（０，０，０）， Ｄ。
求（１）△ＢＣＤ的面积。
（２）四面体ＡＢＣＤ的体积。
（３）Ｃ到△ＢＣＤ的距离。
解：（1），
????????
-------2分
所以?
△BCD的面积
?（2）四面体ABCD的体积为
（3）设C到BCD平面的距离为h,则
?
从而有。
2.
用向量法证明：P是ΔABC重心的充要条件为．
证明：设P为△ABC的重心，D为BC边中点，则，
?????
又因为PD为△PBC的中线，所以即
????
所以有。
???
设D为BC边中点，则
?????
又因为，即，
???????
与共线，即P在BC边的中线上，
?????
同理可得P也在AB，AC边的中线上，从而有P为△ABC的重心。
3.
证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.
用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi,
欲证AiGi交于一点(i＝1,
2,
3,
4).
在AiGi上取一点Pi，使＝3,
从而＝，
设Ai
(xi,
yi,
zi)(i＝1,
2,
3,
4)，则
G1,
G2,
G3,
G4,
所以
P1(,,)
oP1(,,).
同理得P2oP3oP4oP1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.
4.在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量
的分解式。
解：是的重心。连接并延长与BC交于P
同理????
?（1）????????
?
?
?
?
?
?（2）
?
?（3）?????????????????
由（1）（2）（3）得
????
?即
第二章?轨迹与方程
本章教学目的：通过本章学习，使学生理解空间坐标系下曲面与空间曲线方程之定义及表示，熟悉空间中一些特殊曲面、曲线的方程.
本章教学重点：空间坐标系下曲面与空间曲线方程的定义.
本章教学难点：（1）空间坐标系下母线平行于坐标轴的柱面方程与平面坐标系下有关平面曲线方程的区别；（2）空间坐标系下，空间曲线一般方程的规范表示.
??????
?本章教学内容：
2.1平面曲线的方程
在平面上或空间取定了坐标系之后，平面上或空间的点就与有序数组(坐标):或建立了一一对应的关系.曲线、曲面(轨迹)?就与
方程或建立一一对应的关系.
1.平面上的曲线:
具有某种特征性质的点的集合(轨迹).
曲线的方程:1
曲线上的点都具有这些性质.
??????????
?2具有这些性质的点都在曲线上.
2.曲线的方程,
方程的图形
定义2.1.1??
当平面上取定了坐标系之后,如果一个方程与一条曲线有着关系:1满足方程的必是曲线上某一点的坐标;
2曲线上任何一点的坐标满足这个方程,那么这个方程叫做这条曲线的方程,而这条曲线叫做这个方程的图形.
例1.
求圆心在原点,半径为R的圆的方程.
解:
任意点在圆上.
类似地,
圆心在,半径为R的圆的方程为.
?例2.
已知两点和,求满足条件的动点的轨迹方程.
解:
动点在轨迹上
即
???????
平方整理得?????????????????????????????
再平方整理得???????????????????????????
?????????????
??
.????????????????????????????????????
??????????????
为所求轨迹方程.
注:
在求曲线的方程时,化简过程中可能造成范围
的变化,得到的方程所代表曲线上的点与条件并不
完全相符,必须补上或除去.???????????????????????????????????
3.
曲线的参数方程
变向量:?
随的变化而变化的向量.
??
向量函数=:对每一个都唯一确定的一个.
??
定义2.1.2?
在坐标系上,向量函数==?()叫做曲线的向量式参数方程.??????????????????????????????????
??????
曲线的坐标式参数方程:
?????????????????????
曲线的普通方程:
.???
???
例3.
一个圆在一直线上无滑动地滚动,求圆周上一点的轨迹.??????????????
?
?
?
?
?
?
????
?????????????????????
(图2-3)
?
?
解:取直角坐标系,设半径为的圆在轴上滚动,开始时点P恰好在原点O(图2-3),经过一段时间的滚动,圆与直线轴的切点移到A点,圆心移到C点,这时有
.
设为到的有向角,则到的角为,则
.
又??
??,
??
?
??
,
这即是P点轨迹的向量式参数方程.
其坐标式参数方程为:
取时,消去参数,得其在的一段的普通方程:
这种曲线叫做旋轮线或称为摆线.
例4.
已知大圆半径为,小圆半径为,设大圆不动,而小圆在大圆内无滑动地滚动,动圆周上某一点P的轨迹叫做内旋轮线(或称内摆线),求内旋轮线的方程.
解:??????????????????????????????????
?
?
?
?
?
???????????????
?????????????????????????????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
设运动开始时动点P与大圆周上的A点重合，并取大圆中心O为原点，OA为x轴，过O与OA垂直的直线为y轴建立坐标系，经过某一过程后，小圆与大圆的接触点为B，小圆中心为C，则C一定在OB上，且有
，
设为到的有向角，为到的有向角，
则有
又由弧AB等于弧BP可得，从而有到的有向角为，
所以，
.
即为P点的向量式参数方程，其坐标式参数方程为
（-∞﹤<+∞）
例5
把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，求线头的轨迹.
??
解
设圆的半径为，线头的最初位置
是圆周上的点，如右图，建立坐标系，
那么
??????????
，
设，那么???????????????
??????
，
且矢量对轴所成的有向角为
???????
，
所以???????????
??????????????????
=，
从而得
???????????????
，
这就是所求点轨迹的矢量式参数方程.由上式可得该轨迹的坐标式参数方程为
该曲线叫渐伸线或切展线.
2.2?
曲面的方程
一、曲面的方程：
?1
定义2.2.1?
设Σ为一曲面，F（x，y，z）=0或为一三元方程，空间中建立了坐标系以后，若Σ上任一点P（x,y,z）的坐标都满足F（x，y，z）=0或，而且凡坐标满足方程的点都在曲面Σ上，则称F（x，y，z）=0或为曲面Σ的方程，而曲面Σ叫做方程F（x，y，z）=0或的图形.
不难看出，一点在曲面Σ上〈═〉该点的坐标满足Σ的方程，即曲面上的点与其方程的解之间是一一对应的?
∴Σ的方程的代数性质必能反映出Σ的几何性质.
2
三元方程的表示的几种特殊图形：
空间中任一曲面的方程都是一三元方程，反之，是否任一三元方程也表示空间中的一个曲面呢？一般而言这是成立的，但也有如下特殊情况
???
1°
若F（x，y，z）=0的左端可分解成两个（或多个）因式F1（x，y，z）与F2（x，y，z）的乘积，即F（x，y，z）≡F1（x，y，z）F2（x，y，z），则
F（x，y，z）=0〈═〉F1（x，y，z）=0或F2（x，y，z）=0，此时
F（x，y，z）=0表示两叶曲面与，它们分别以F1（x，y，z）=0，F2（x，y，z）=0为其方程，此时称F（x，y，z）=0表示的图形为变态曲面.如
??????????????????????
即为三坐标面.
???
20方程?
????
?仅表示坐标原点和点（1，2，3）
???
3°方程可能表示若干条曲线，如
?????????
??????????
即表示z轴和x轴
????
?4°方程不表示任何实图形，如
??????????
，
??????????
此时，称所表示的图形为虚曲面
????
3?
求法：
?????
?例1：求平行于坐标面的平面的方程.
???????
解：设平行于面的平面为π，π与z轴的交点为，则
??????????
∈π〈═〉共面
???????????
=0?????
即?
?????????
?同理，平行于其他两坐标面的平面的方程为?
??????
例2：求作两定点A（1，-2，1），B（0，1，3）等距离的点的轨迹.
????????
解：
???????????????????????????
????????????????????????????????????
（图2.1）?
设所求轨迹为Σ，则
??????????
?=?
?
〈═〉-2x+4y-2z+6=-2y-6z+10?
???
〈═〉2x-6y-4z+4=0〈═〉x-3y-2z+2=0
????
即所求轨迹为x-3y-2z+2=0
?????
?例3：求半径为R的球面的方程
????????
解：建立直角坐标系{O；i,j,k}，并设球心（a,b,c），则
?P（x,y,z）球面Σ〈═〉∣∣=R〈═〉
???????????????????
????????????
特别地，若M.（a,b,c）为坐标原点，则球面Σ的方程为
????????????????
x2+y2+z2=R2
????????????
综合上述条例，可归纳出求曲面方程的一般步骤如下：
??????????
1°建立适当的坐标系；（方程易求且求出的方程简单）
??????????
2°设动点Σ坐标为P（x,y,z），并根据已知条件，推出曲面上的点的坐标应满足的方程；
?????????
?3°对方程作同解化简.
??
?二、
曲面的参数方程：
???????
定义2.2.2?
设DR2为有序数对集，若对任意（u，v）∈D，按照某对应规则，有唯一确定的向量r与之对应，称这种对应关系为D上的一个二元向量函数，记作
????????????
?????????????
r=r（u，v），（u，v）∈D
???????
定义2.2.3
设Σ为一曲面，r=r（u，v），（u，v）∈D为一二元向量函数，在空间坐标系下，若对任意（u，v）∈D
，径向
?=r（u，v）的终点P总在曲面Σ上，而且对任意P∈Σ，也必能找到（u，v）∈D，使=r
??????
????
（u，v），则
称r=r（u，v）为Σ的向量式参数方程，记作Σ：r=r（u，v），（u，v）∈D.
?????????????
若令?
r（u，v）={x（u，v），y（u，v），z（u，v）}，
?????????????
则
称
??????（u，v）∈D
???????????
???为Σ的坐标式参数方程，记作Σ：???
（u，v）∈D
???????????????
?
?
?
?
?
?????????????????
?????????????????????????????????
?
?
?
???
????????
(图2.2)?????????????????????????
?
(图2.3)
例：建立球面的参数方程：????????????????
????????
解：为简单起见，设坐标原点位于球心，球面半径为R，如图
????????????
对任意M（x,y,z）∈球面Σ；令P为M
在x.y面上投影，
????????????
并令=∠（，），则
?????????????
r=?=
?????????????????
=∣∣cos
i+∣∣sin?j+∣∣cos?
???????????????
=∣∣sin?cos?i+
∣∣sin?sinj+∣∣cos?
?????????????????
=Rsin?cos?i+Rsin?sinj
+Rcos?
???????????
?∴球面的参数方程
为：
?????????0π???
0<2π
?
?三、
球坐标系与柱坐标系
?定义2.2.4?
空间中建立了直角坐标系之后，对空间中任一点M（x,y,z），设∣OM∣=ρ?则M在以O为中心，以ρ为半径的球面上，从而存在φ，θ，使
?????（*）
?反之，对任意ρ（ρ≥0），φ（0π），θ（0<2π），通过（*）也能确定空间中一点M（x,y,z），我们称有序三数组ρ，φ，θ为M点
的球坐标（空间极坐标），记作M（ρ，φ，θ）
?注：1°空间中的点与其球坐标间并非一一对应.
??
2°已知M点的球坐标，通过（*）可求其直角坐标，而若已知M的直角坐
标，则
（**）
便可求其球坐标.
?
定义2.2.5?
空间中建立了直角坐标系之后，对M（x,y,z），设其到z轴的距离为ρ，则
M落在以z轴为中心轴，以ρ为半径的圆柱面上，从而θ，u，使?
???????????????（*）
??????????
反之，对给的ρ（ρ≥0），θ（0≦θ<2π），u（∣u∣<）,依据（*）式
也可确定空间中一点M（x,y,z），称有序三数组ρ，θ，u为M点的柱坐标，记作M（ρ，θ，u）.
??????
注：1°空间中的点与其柱坐标并非一一对应.
??????????
2°由柱面坐标求直角坐标,利用(*)即可,而由直角坐标求柱坐标,则需按下式进行.
?????????????
?
????
例：在直角坐标系下，圆柱面，双曲柱面，平面和抛物柱面的图形如下：
??????????????
??????
??
(图2.4)
????????????
??????????????
???
?????(图2.5)
?(图2.6)??????????
??????
(图2.7)
2.3??
空间曲线的方程
?
一
、空间曲线的一般方程
????
1
.定义2.3.1??
设L为空间曲线,为一三元方程组,空间中建立了坐标系之后,若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线L上,则称为曲线L的一般方程,又称普通方程,记作L:
???????????
???????????????????
???????
?????????????????????(图2.8)
?注:????
1°在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组;
?????????
2°用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面的交线（如图2.8）;
?????????
3°空间曲线的方程不唯一(但它们同解),如
???????????
与?均表示z轴?
????
2
.用曲线的射影柱面的方程来表达曲线
???????
以曲线L为准线,母线平行于坐标轴的柱面称为L的射影柱面,若记L的三射影柱面的方程为
?(x,y)=0,
(y,z)=0,
(z,x)=0,则
????????
,,
便是L的用射影柱面表达的方程
?若已知曲线L:,只需从L的方程中,分别消去x,y,z便三射影柱面
的方程(y,z)=0,?
(z,x)=0,?
(x,y)=0
例:设有曲线L:?,试求L的射影柱面,并用射影柱面方程表达曲线.
解:从L的方程中分别消去x,y,z得到
z2-4y=4z,x2+z2=4z,x2+4z=0
它们即为L的射影柱面,而
?
(1),?(2),?
??(3)
便均是L的用射影柱面表达的方程
????
?注:利用方程(2)即可作出L的草图
二
、空间曲线的参数方程:
?
1.定义2.3.2??
设L为一空间曲线，r=r(t),t∈A为一元向函数,在空间坐标系下，若对P∈L，
?????
t∈A，使?=r（t），而且对t∈A，必有P∈L，使r（t）=?，则称r=r（t），
???????
t∈A为曲线L的向量式参数方程，记作L=r=r（t），t∈A，t
——参数
???????
若点r（t）={x（t），y（t），z（t）}
???????
则称???????
t∈A
???????
为L的坐标式参数方程
???
注：空间曲线的参数方程中，仅有一个参数，而曲面的参数方程中，有两个参数，所以习惯上，称曲线是单参数的，而曲面是双参数的。
?
2.求法：
???
例：一质点，在半径=a的圆柱面上，一方面绕圆柱面的轴作匀速转动，一方面沿圆柱面的母线方向作匀速直线运动，求质点的运动轨迹。
???
解：以圆柱面的轴作为z轴，建立直角坐标系{O；i，j，k}，如图，不妨设质点的起始点在x轴上，质点的角速率与线速率分别为ω。，ν。，质点的轨迹为L，则对∈L，在x。y面上的投影为′，
???????????????????????????
?????????????????????????????????????
(图2.9)
r=?=?
?+
?=acos?i+asin?j+k
??????
若令，=b，则
??????
r=acos?i+asin?j+b?k??????????
???????
————L的向量式参数方程
?
????而????????????
???????
小结
?知识点回顾：?
在平面上或空间取定了坐标系后，平面上或空间的点就与有序实数组（x,y）或(x,y,z)建立了一一对应的关系，在此基础上，把平面上的曲线或空间的曲面都看成具有某种特征性质的点的集合，而其特征性质在坐标系中反映为它的坐标之间的某种特定关系，把这种关系找出来，就是它的方程，而图形的方程和图形间有一一对应的关系，这样就把研究曲线与曲面的几何问题转化为了代数问题。如曲面的方程为F（x，y，z）=0，要研究空间中三曲面是否有公共点的问题就可归结为求三曲面方程的公共解，也就是解三元联立方程组的问题。例如方程组
如果有实数解，则三曲面就有公共点，方程组的解就是公共点的坐标。若方程组无实数解，三曲面就没有公共点。
平面曲线的普通方程为，参数方程为单参数的；曲面的普通方程为，参数方程为双参数的；空间曲线的普通方程为，参数方程为单参数的。
参数方程若能消去参数可得到普通方程，普通方程化为参数方程时形式却是不唯一的，但一定要保证与原方程等价。
典型习题：
1.??????????
有一长度为＞0）的线段，它的两端点分别在轴正半轴与轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。，为两端点，为此线段的中点。?
解：设.则.在中有
:?
即.
∴此线段中点的轨迹为.???
???
2.??????????
有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起，作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的顶点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的运动，这时质点在圆锥面上的轨迹叫做圆锥螺线，试建立圆锥螺线的方程.
解：取圆锥面的顶点为坐标原点，圆锥的轴为z轴建立直角坐标系，并设圆锥顶角为，旋转角速度为，直线运动速度为V，动点的初始位置在原点，而且动点所在直母线的初始位置在xoz面上，t秒后质点到达P点，P点在xoy面上的射影为N，N在x轴上的射影为M，则有
而
所以，圆锥螺旋线的向量式参数方程为
坐标式参数方程为（﹣∞
?
第三章??
平面与空间直线
本章教学目的：?
通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，掌握确定平面与直线的条件，熟练掌握点、平面与空间直线间各种位置关系的解析条件及其几何直观概念.
本章教学重点：（1）空间坐标系下平面方程的点位式和点法式、直线方程点向式与标准式；（2）点、平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；（3）平面与空间直线各种度量关系的量化公式.
本章教学难点：
（1）异面直线的公垂线方程；（2）综合运用位置关系的解析条件求平面、空间直线方程.
本章教学内容：
3.1?
平面的方程
1．平面的点位式方程
在空间给定了一点M0与两个不共线的向量a，b后，通过点M0且与a，b平行的平面p
就惟一被确定.
向量a，b叫平面p
的方位向量.
任意两个与p
平行的不共线的向量都可作为平面p
的方位向量.
取标架，设点M0的向径==，平面p
上任意一点M的向径为r
=?=
{x，y，z}（如图）.
点M在平面p上的充要条件为向量与向量a，b共面.
由于a，b不共线，这个共面的条件可以写成
=
ua＋vb
而=
r
－r0，所以上式可写成
r?
=
r0＋ua＋vb?????????????????
(3.1－1)
此方程叫做平面p
的点位式向量参数方程，其中u，v为参数.
若令a
=
{，，}，b
=
{，，}，则由(3.1－1)可得
????????????????????????????????????????
??
(3.1－2)
此方程叫做平面p
的点位式坐标参数方程，其中u，v为参数.
(3.1－1)式两边与a×b作内积，消去参数u，v得
(r
－r0，a，b)
=
0??????????????????????????????????????????
(3.1-3)
此即
=0???????????????????????????????????????
??
(3.1－4)
这是p
的点位式普通方程.
例1：已知平面p上三非共线点（i
=
1，2，3）.求通过（i
=
1，2，3）的平面方程。
解：
建立坐标系{O；e1,
e2,
e3}，设ri
=
?={，，}，i
=
1，2，3.
对动点M，设r
=={x，y，z}，取和为方位向量，M1为定点，则平面p的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为
r
=
＋u(－)＋v(－r1)??????????????????????????????????????
?
(3.1－5)
??????????????????????????????????????
???
(3.1－6)
=
0???????????????????????????????????????
??
(3.1－7)
(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程.
特别地，若是p
与三坐标轴的交点，即(a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c)，其中abc≠0，则平面p
的方程就是
=0??????????????????????????????????????????????
(3.1－8)
即????????????????????????????
????????????
???????
???????????????????????
???
(3.1－9)
此方程叫平面p的截距式方程，其中a，b，c称为p
在三坐标轴上的截距.
2．平面的一般方程
在空间，任一平面都可用其上一点M0(x0，y0，z0)和两个方位向量a
=
{，，}，b
=
{，，}确定，因而任一平面都可用方程(3.1－4)表示.
将(3.1－4)展开就可写成
Ax＋By＋Cz＋D
=
0????????????????????????????????????????
(3.1－10)
其中??
A
=，B
=，C
=
由于a
=
{，，}与b
=
{，，}不共线，所以A，B，C不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a，b，c的一三元一次方程来表示.
反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A≠0，则(3.1－10)可改写成
即
它显然表示由点M0
(－D
/
A，0，0)和两个不共线的向量{B，－A，0}和{C，0，－A
}所决定的平面.
于是有
定理3.1.1?
空间中任一平面的方程都可表为一个关于变数x，y，z的三元一次方程；反过来，任一关于变数x，y，z的三元一次方程都表示一个平面.
方程(3.1－10)
称为平面p
的一般方程.
现在先来讨论几种特殊的平面方程（平面对于坐标系来讲具有某种特殊位置）：
1.D=0的平面都通过原点。
2.A、B、C中有一个为0，例如C=0，则平面通过Z轴。
3.
A、B、C中有两个为0，若D，B=C=0，平面平行于yoz坐标面。.
其余情况同学们自己讨论。
3．平面的法式方程。
若给定一点M0和一个非零向量n，则过M0且与n垂直的平面p也被惟一地确定.
称n为p的法向量.
在空间坐标系{O；i，j，k}下，设=
={x0，y0，z0}，n
=
{A，B，C}，且平面上任一点M的向径r
=={x，y，z}，则因总有⊥n，有
n(r－r0)
=
0???????????????????????????????????????????????
(3.1－11)
也就是????????????????????????
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)
=
0????????????????????????????????????????
?
(3.1－12)
方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面p
的点法式方程.
(3.1－12)中的系数A，B，C有简明的几何意义，它们就是平面p
的一个法向量的分量.
特别地，取M0为自O向p
所作垂线的垂足，而n为单位向量.
当平面不过原点时，取n为与同向的单位向量n0，当平面过原点时取n0的正向为垂直与平面的两个方向中的任一个.
设||
=
p，则=
p
n0，由点P和n0确定的平面的方程为
n0(r－p
n0)
=
0
式中r是平面的动向径.
由于，上式可写成
n0r－p
=
0??????????????????????????????????????????????????
(3.1－13)
此方程叫平面的向量式法式方程.
若设r
=
{x，y，z}，n0
=
{cosa，cosb，cosg}，则由(3.1－13)得
x
cosa＋y
cosb＋z
cosg－p
=
0???????????????????????????????????????
?
(3.1－14)
此为平面的坐标法式方程，简称法式方程.
平面的坐标法式方程有如下特征：
1°一次项系数是单位向量的分量，其平方和等于1；
2°常数项－p≤0（意味着p
≥
0）.
3°p是原点到平面的距离.
例3:
求通过点且平行于z轴的平面方程。
?解：设平行于z轴的平面方程为Ax＋By＋D
=
0，因为它又要通过，所以有2A－B＋D
=
0，3A－2B＋D
=
0，由上两式得A:B:C=
所以所求平面方程为x＋y－1=
0
4．化一般方程为法式方程?
在直角坐标系下，若已知p的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D
=
0，则n
=
{A，B，C}是p的法向量，Ax＋By＋Cz＋D
=
0可写为
nr＋D
=
0???????????????????????????????????????????????
(3.1－15)
与(3.1－13)比较可知，只要以
去乘(3.1－15)就可得法式方程
lAx＋lBy＋lCz＋lD
=
0??????????????????????????????????????
?
(3.1－16)
其中正负号的选取，当D≠0时应使(3.1－16)的常数项为负，D＝0时可任意选.
以上过程称为平面方程的法式化，而将叫做法化因子.
例2：已知两点，，求线段垂直平分面的方程。
解：
????
中点坐标为：
????
平面的点法式方程为：
??
整理后得：
例3：把平面：化为法式方程，并求出原点指向平面的单位法向量。
?
解：
，
所以
法式方程为：
3.2?
平面与点的相关位置
???
平面与点的位置关系，有两种情形，就是点在平面上和点不在平面上.
前者的条件是点的坐标满足平面方程.
点不在平面上时，一般要求点到平面的距离，并用离差反映点在平面的哪一侧.
1．点到平面的距离
定义3.2.1?
自点M0向平面p
引垂线，垂足为Q.
向量在平面p的单位法向量n0上的射影叫做M0与平面p之间的离差，记作
d
=
射影n0????????????????????????????????????????????
(3.2－1)
显然?????????????
d
=
射影n0?=
·n0
=∣∣cos∠(，n0)
=±∣∣
当与n0同向时，离差d
>
0；当与n0反向时，离差d
<
0.
当且仅当M0在平面上时，离差d
=
0.?
显然，离差的绝对值就是点M0到平面p
的距离.
定理3.2.1?
点M0与平面（3.1－13）之间的离差为
d
=
n0r0－p????????????????(3.2－2)
证：根据定义3.2.2和上图得d
=
射影n0=
n0
（-）=
n0（r0－q）=
n0r0－n0
q
??????
其中q=，而Q在平面（3.1-13）上，因此n0
q=
p，所以d
=
n0r0－p。
推论1?
若平面p
的法式方程为
，则与p间的离差
??????????????????????????????
(3.2－3)
推论2?
点与平面Ax＋By＋Cz＋D
=
0间的距离为
?????????????????????????????
(3.2－4)
2．平面划分空间问题?
三元一次不等式的几何意义
设平面的一般方程为
Ax＋By＋Cz＋D
=
0
则空间中任一点M（x，y，z）与间的离差为
=
l
(Ax＋By＋Cz＋D)
式中l为平面的法化因子，由此有
Ax＋By＋Cz＋D
=??????????????????????????????????????????????
(3.2－5)
对于平面同侧的点，d
的符号相同；对于在平面的异侧的点，d
有不同的符号，而l一经取定，符号就是固定的.
因此，平面：Ax＋By＋Cz＋D
=
0把空间划分为两部分，对于某一部分的点M(x，y，z)
Ax＋By＋Cz＋D
>
0；而对于另一部分的点，则有Ax＋By＋Cz＋D
<
0，在平面上的点有Ax＋By＋Cz＋D
=
0.
3.3?
两平面的相关位置
?空间两平面的相关位置有3种情形，即相交、平行和重合.
设两平面p1与p2的方程分别是
p1：?????????????????????????????????
(1)
p2：?????????????????????????????????
(2)
则两平面p1与p2相交、平行或是重合，就决定于由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解，或无数个解，从而我们可得下面的定理.
定理3.3.1
?两平面（1）与（2）相交的充要条件是
?????????????
????????????????
(3.3－1)
平行的充要条件是
?????????????????????????????????
(3.3－2)
重合的充要条件是
??????????????????????????????????(3.3－3)
由于两平面p1与p2的法向量分别为，当且仅当n1不平行于n2时p1与p2相交，当且仅当n1∥n2时p1与p2平行或重合，由此我们同样能得到上面3个条件.
下面定义两平面间的夹角.
设两平面的法向量间的夹角为q，称p1与p2的二面角∠(p1，p2)
=q
或p－q为两平面间的夹角.
显然有
=±cosq
=±??????????
(3.3－4)
定理3.3.2
?两平面（1）与（2）垂直的充要条件是
????????????????????????????????????????
(3.3－5)
例
一平面过两点
和且垂直于平面x＋y＋z
=
0，求它的方程.
解
设所求平面的法向量为n
=
{A，B，C}，
由于在所求平面上，有，
，
即??????
?.
又n垂直于平面x＋y＋z
=
0的法线向量{1，1，1}，故有A＋B＋C
=
0
解方程组
?
得?????
所求平面的方程为
，
约去非零因子C得
，
即??????????????????
?2x－y－z
=0
3.4?
空间直线的方程
1．直线的点向式方程
在空间给定了一点与一个非零向量v
=
{X，Y，Z}，则过点M0且平行于向量v的直线l就惟一地被确定.
向量v叫直线l的方向向量.
显然，任一与直线l上平行的飞零向量均可作为直线l的方向向量.
下面建立直线l的方程.
如图，设M
(x，y，z)
是直线l上任意一点，其对应的向径是r
=
{
x，y，z
}，而对应的向径是r0，则因//v，有t∈R，=
t
v.
即有
r－r0=
t
v
所以得直线l的点向式向量参数方程
?????????????????
r
=
r0＋t
v???????????????
(3.4－1)
以诸相关向量的分量代入上式，得
?
根据向量加法的性质就得直线l的点向式坐标参数方程为
??
－∞
<
t
<
＋∞???
(3.4－2)
消去参数t，就得直线l的点向式对称方程为
? ????
(3.4－3)
此方程也叫直线l的标准方程.
今后如无特别说明，在作业和考试时所求得的直线方程的结果都应写成对称式.
例1?
设直线L通过空间两点M1(x1，y1，z1)和M2(x2，y2，z2)，则取M1为定点，为方位向量，就得到直线的两点式方程为
????????
(3.4－4)
根据前面的分析和直线的方程(3.4－1)，可得到
??????????????????????????????
这个式子清楚地给出了直线的参数方程(3.4－1)或(3.4－2)中参数的几何意义：参数t的绝对值等于定点M0到动点M之间的距离与方向向量的模的比值，表明线段M0M的长度是方向向量v的长度的
|t|
倍.
特别地，若取方向向量为单位向量v
0
=
{cosa，cosb，cosg}
则(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次变为
???????????????????????????????
r
=
r0＋t
v0?????????????????????
?
(3.4－5)
???
－∞
<
t
<
＋∞????(3.4－6)
和
??????????
?(3.4－7)
此时因
|v|
=
1，t的绝对值恰好等于l上两点M0与M之间的距离.
直线l的方向向量的方向角a，b，g
cosa，cosb，cosg
分别叫做直线l的方向角和方向余弦.
由于任意一个与v平行的非零向量v"都可作为直线l的方向向量，而二者的分量是成比例的，我们一般称X
：Y
：Z为直线l的方向数，用来表示直线l的方向.
2．直线的一般方程
空间直线l可看成两平面p1和p2的交线.
事实上，若两个相交的平面p1和p2的方程分别为
p1：?
p2：?
那么空间直线l上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组
???????????
(3.4－8)
反过来，如果点不在直线l上，那么它不可能同时在平面p1和p2上，所以它的坐标不满足方程组(3.4－8).
因此，l可用方程组(3.4－8)表示，方程组(3.4－8)叫做空间直线的一般方程.
一般说来，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就可得到空间直线的方程.
直线的标准方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式.
将标准方程化为一般式，得到的是直线的射影式方程.
将直线的一般方程化为标准式，只需在直线上任取一点，然后取构成直线的两个平面的两个法向量的向量积为直线的方向向量即可.
例
将直线的一般方程
化为对称式和参数方程.
解?
令y
=
0，得这直线上的一点（1，0，－2）.
两平面的法向量为
a
=
{1，1，1}，b
=
{2，－1，3}
因a×b
=
{4，－1，－3}，取为直线的法向量，即得直线的对称式方程为
令，则得所求的参数方程为
3.5?
直线与平面的相关位置
直线与平面的相关位置有直线与平面相交，直线与平面平行和直线在平面上3种情形.
设直线l与平面p
的方程分别为
???
l：??????????????????????????????????????????????
(1）
??
p
：Ax＋By＋Cz＋D
=
0??????????????????????????????????????
??
(2)
（1）也就是.
将（2）代入（1），整理可得
(AX＋BY＋CZ)t
=
－(Ax0＋By0＋Cz0＋D)????????????????????????????
(3)
当且仅当AX＋BY＋CZ≠0时，（3）有惟一解
这时直线l与平面p
有惟一公共点；当且仅当AX＋BY＋CZ
=
0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0时，（3）无解，直线l与平面p
没有公共点；当且仅当AX＋BY＋CZ
=
0，Ax0＋By0＋Cz0＋D
=
0时，（3）有无数多解，直线l在平面p
上.
于是有
定理3.5.1?
关于直线（1）与平面（2）的相互位置，有下面的充要条件：
1）相交：??????????????????
AX＋BY＋CZ≠0
2）平行：??????????????????
AX＋BY＋CZ
=
0，Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0
3）直线在平面上：????
AX＋BY＋CZ
=
0，Ax0＋By0＋Cz0＋D
=
0
以上条件的几何解释：就是直线l的方向向量v与平面p
的法向量n之间关系.
1）表示v与n不垂直；
2）表示v与n垂直且直线l上的点（x0，y0，z0）不在平面p
上；
3）表示v与n垂直且直线l上的点（x0，y0，z0）在平面p
上.
当直线l与平面p
相交时，可求它们的交角.
当直线不与平面垂直时，直线与平面的交角j
是指直线和它在平面上的射影所构成的锐角；垂直时规定是直角.
设v
=
{X，Y，Z}是直线l的方向向量，n
=
{A，B，C}是平面p
的法向量，则
令?∠(l，p
)
=，∠(v，n)
=
q
，就有
=q
或=
q－（q
为锐角）
因而,sin?=∣cosq∣==???
??
??????
(3.5－1)
从这个公式也可直接得到定理3.5.1中的条件.
3.6?
空间直线与点的相关位置
任给一条直线l的方程和一点M0，则l和M0的位置关系只有两种：点在直线上和点不在直线上。从代数上，这两种情况对应点的坐标满足方程和点的坐标不满足方程.
当点不在直线上时，可求此点到直线的距离.
设空间中有一点M0(x0，y0，z0)，和一条直线l：
l：
此处M1(x1，y1，z1)是l上的一点，v
=
{X，Y，Z}是l的方向向量.
以v和为邻边作一平行四变形，则其面积为
|
v×|，点M0到直线l的距离d就是此平行四变形的对应于底
|
v
|
的高，所以
=????????
(3.7－1)
在实际计算中，记忆上式的第二个等号后面的部分是没有实际意义的.
只需根据公式的前半部分计算即可.
?
3.7空间两直线的相关位置
?1．空间两直线的位置关系：
?空间两直线的相关位置有异面与共面，共面时又有相交、平行和重合3种情形.
设二直线的方程为
：???????????????
i
=
1，2
此处直线l1是由点和方向向量v1
=
{X1，Y1，Z1}决定的，而直线l2是由点和方向向量v2
=
{X2，Y2，Z2}决定的.
由图容易看出，两直线的相关位置决定于三向量，v1，v2的相互关系.
当且仅当这三个向量异面时，两直线异面；当且仅当这三个向量共面时，两直线共面.
共面时，若v1，v2不平行，则l1和l2相交，若v1∥v2但不与平行，则l1和l2平行，v1∥v2∥，则l1和l2重合.
因此有
定理3.6.1?
空间两直线l1和l2的相关位置有下面的充要条件
1）异面：
??????????????
(3.6－1)
2）相交：??????????????????
?????????(3.6－2)
3）平行：????
????????(3.6－3)
4）重合：????
????????(3.6－4)
2．空间两直线的夹角
平行于空间两直线的两向量间的夹角，叫空间两直线的夹角.
显然，若两直线间的夹角是q，则也可认为它们之间的夹角是p－q.
定理3.6.2?
空间两直线l1和l2的夹角的余弦为
???????????
(3.6－5)
推论?
两直线l1与l2垂直的充要条件是
X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2
=
0????????????????????????????????????????
??
(3.6－6)
3．二异面直线间的距离与公垂线的方程
空间两直线的点之间的最短距离叫这两条直线之间的距离.
两相交或两重合直线间的距离为零；两平行直线间的距离等于其中一直线上的任意一点到另一直线的距离.
与两条异面直线都垂直相交的直线叫两异面直线的公垂线.
两异面直线间的距离就等于它们的公垂线夹在两异面直线间的线段的长.
设两异面直线l1和l2的方程如前，l1和l2与它们的公垂线的交点分别为N1和N2，则l1和l2之间的距离
也就是
?????????????
(3.6－6)
现在求两异面直线l1和l2的公垂线的方程.
如上图，公垂线l0的方向向量可取作=
{X，Y，Z}，而公垂线l0可看作两个平面的交线，这两个平面一个通过点M1，以v1和和为方向向量，另一个平面通过点M2，以v2和和为方向向量.
因此公垂线l0的一般方程可写为????????
(3.6－7).
例1求通过点而与平面平行，且与直线相交的直线的方程。
解：设直线方程为：?????????????
???????????????
由条件可得：
?
??即?
??????????????????????????????
??????????
?从而，??????
且
所以，直线方程为：???
例2
已知两直线：
???
与????
?
⑴
证明它们为异面直线；
?
⑵
求它们公垂线的方程
解：
?
⑴，所以，两直线异面。
??
????⑵
公垂线方向为：公垂线方程为：
，化简得：?
即：
3.8?
平面束
1．平面束
定义3.8.1?
空间中过同一直线l的所有平面的集合称为有轴平面束，l称为这平面束的轴.
定义3.8.2?
空间中平行于一定平面p的所有平面的集合称为平行平面束.
有轴和平行平面束统称为平面束.
定理3.8.1?
如果两个平面
p1：x＋y＋z＋=
0???????????????????????????????????????????????
（1）
p2：x＋y＋z＋=
0??????????????????????????????????????????????
（2）
交于一条直线L，那么以直线L为轴的有轴平面束的方程是
l(x＋y＋z＋)＋m
(x＋y＋z＋)
=
0???????????????????
(3.8－1)
其中l
和
m
是不全为零的任意实数.
证?
先证(3.8－1)表示过L的平面.
(3.8－1)即为(l+m
)x＋(l+m
)y＋(l+m
)z＋l＋m
=
0
上式中x，y，z的系数必不全为零，若不然，则有
－m：l
=：=：=
：
这与与相交矛盾.
故表示(3.8－1)一平面p，p显然通过与的交线L.
再证明对于过L的任一平面p，必存在不全为零的实数l，m，使p的方程为(3.8－1).
首先，若p是，取l
=
1，m
=
0；若p是，取l
=
0，m
=1即可.
一般地，若p≠，i
=
1，2，取p上一点A(a，b，c)L，则由于(3.8－1)表示的平面要通过L的条件是
l
(a+b+c+)＋m
(a+b+c+)
=
0
即????????????????????????
l：m
=－(a+b+c+)
：(a+b+c+)
不妨取
???????????????
l
=－(a+b+c+)，m
=a+b+c+
则由于A不在L上，l
和
m
不全为零，因而过L且过A的平面p
的方程必可写成(3.8－1)的形式.
例?
求过二平面4x－y＋3z－1
=
0与x＋5y－z＋2
=
0的交线，且过原点的平面的方程.
解?
略（讲解时实推）.
定理3.8.2?
如果两个平面
p1：x＋y＋z＋=
0???????????????????????????????????????????????
（1）
p2：x＋y＋z＋=
0??????????????????????????????????????????????
（2）
为平行平面，那么方程
l(x＋y＋z＋)＋m
(x＋y＋z＋)
=
0??????????
(3.8－1)
为平行平面束，平面束中任一平面都和p1或p2平行.
式中l
和
m
是不全为零的任意实数，且
－m
：l≠A1
：A2
=
B1
：B2
=
C1
：C2
定理3.8.
3?
平行于平面p：Ax＋By＋Cz＋D
=
0的所有平面的方程可表为
Ax＋By＋Cz＋l
=
0??????????????????????????????
(3.8－2)
例?
求与平面3x＋y－z＋4
=
0平行，且在z轴的截距等于－6的平面的方程.
解?
设所求的平面是3x＋y－z＋t
=
0，则由于点
(0，0，－6)
在平面上，有
t＋6
=
0,
t
=－6
所求的平面方程为????????????????
3x＋y－z－6
=
0
2．平面把
定义3.8.3?
空间中过一定点的所有平面的集合称为平面把，称为把心.
定理3.8.4?
过定点(，，)的所有平面的方程为
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)
=
0?????????????????????????
(3.8－3)
其中A，B，C是任意不全为零的实数.
??
?更一般地，我们有
定义3.8.3?
空间中过一定点的所有平面的集合称为平面把，称为把心.
定理3.8.
5?
过定点(，，)的所有平面的方程为
A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)
=
0????????????????????
(3.8－4)
其中A，B，C是任意不全为零的实数.
定理3.8.
6?
对任意不全为0的l
,
m，n，方程
??(3.8－5)
表示过三平面??????
：,
3
的（惟一）交点(，，)的一个平面p；反之，对任意过的平面p，必存在不全为零的l
,
m，n，使p
的方程为(3.8－4).
小结
知识点回顾：?
通过本章的学习，使学生掌握空间坐标系下平面、直线方程的各种形式，掌握确定平面与直线的条件，熟练掌握点、平面与空间直线间各种位置关系的解析条件及其几何直观概念.
（1）空间坐标系下平面方程的点位式和点法式.
在空间取仿射坐标系，并设点的向径，平面上任意一点的向径为则平面的向量式参数方程为其中为参数。
设点的坐标分别为，那么；并设则平面的坐标式参数方程为，为参数。
平面的点位式方程为
?空间中任一平面的方程都可以表示成一个关于变量
x,y,z
的一次方程；反过来，每一个关于变量
x,y,z
的一次方程都表示一个平面，Ax+By+Cz+D=0
叫做平面的一般方程
取空间直角坐标系，设点的向径为?，平面上的任意一点的向径为，则平面的点法式方程.
（2）空间直线的各种方程.
在空间取仿射坐标系，已知直线上一点，动点，方向向量.则其向量式参数方程为?。
坐标式参数方程为：.
对称式方程或标准方程为：。
设有两个平面的方程为（＊）如果?，即方程组（＊）中的系数行列式
不全为零，那么相交，它们的交线设为，因为?上的任意一点同在这两平面上，所以它的坐标必满足方程组（＊）；反过来，坐标满足方程组（＊）的点同在两平面上，因而一定在这两平面的交线即直线?上，因此方程组（＊）表示直线的方程，把它叫做直线的一般方程
（3）点的离差和点到平面的距离；
如果自点到平面引垂线，其垂足为，那么向量在平面的单位法向量上的射影叫做点与平面之间的离差，记做
点到平面距离公式：
（4）点到直线的的距离：.
（5）异面直线的公垂线方程；
两异面直线
?典型习题：
1、一平面过两点
?和
?且垂直于平面
，求它的方程.
解
设所求平面的法线向量为
，
显然，
在所求平面上，
故???????????????????
，
，
即????
?.
又垂直于平面的法线向量，
故有
解方程组???????????????????
?
得?????????????????????????
据点法式方程有
，
约去非零因子
?得
，
故所求方程为???????????
?????????????????????
2、
用对称式方程及其参数方程硎局毕?/span>
解
先找出这直线上的一点，如：取
代入方程组得
解此二元一次方程组得?????
，
于是，得到直线上的一点
.
再找该直线的一个方向向量，由于两平面的交线与两平面的法线向量
都垂直，可取
??????????????????????????
，
因此，所给直线的对称式方程为
；
直线的参数方程为
3分别在下列条件下确定的值：
（1）使和表示同一平面；
（2）使与表示二平行平面；
（3）使与表示二互相垂直的平面。
解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：
即：
从而：，，。
（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：
所以：，。
（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：所以：
。
4.
试验证直线：与平面：相交，并求出它的交点和交角。
解：
??????????????????
直线与平面相交。
又直线的坐标式参数方程为：
设交点处对应的参数为，
，
从而交点为（1，0，-1）。
又设直线与平面的交角为，则：
，
5.
给定两异面直线：与，试求它们的公垂线方程。
解：因为，
公垂线方程为：
即，
亦即
?
第四章?
柱面、锥面、旋转曲面及常见二次曲面
本章教学目的：?
使学生掌握柱面、锥面和旋转曲面的定义、方程求法和方程特征；熟练掌握五种常见二次曲面的定义、标准方程及几何特征，了解它们的性质，会画它们的草图.
本章教学重点：?
（1）常见二次曲面的定义、标准方程及图形的特征；（2）坐标面上的曲线绕坐标轴旋转时所产生旋转曲面方程的求法.
（3）通过求柱面、锥面和旋转曲面的方程，理解动曲线产生曲面的思想方法.
本章教学难点
：（1）柱面及锥面方程的求法中消去参数的几何意义的理解；（2）双曲抛物面的几何性质的分析；（3）二次曲面直纹性的证明.
本章教学内容：
4.1?
柱面?
一
柱面
定义4.1.1?
在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面.
其中定方向叫柱面的方向，定曲呓兄?面的准线，平行直线族中的每一条都叫柱面的母线.
注：1°一个柱面的准线不惟一（举例）.
2°平面和直线也是柱面.
以下建立柱面的方程.
?
?
设在给定的坐标系下，柱面S的准线为
???????????????????????????????
(1)
母线的方向数为X，Y，Z.
若M1(x1，y1，z1)
为准线上任一点，则过M1的母线方程为
???????????????????????????
(2)
且有????????????????????????????????????????????
(3)
从（2）、（3）4个等式中消去参数x1，y1，z1，最后得一个三元方程
F(x，y，z)
=
0
就是以（1）为准线，以{X，Y，Z}为方向的柱面的方程.
这里需要特别强调的是，消去参数的几何意义，就是让点M1遍历准线上的所有位置，就是让动直线（1）“扫”出符合要求的柱面.
例1?
已知一个柱面的准线方程为，其母线的方向数是－1，0，1，求该柱面的方程.
解?
设M1(x1，y1，z1)是准线上的点，过M1(x1，y1，z1)的母线为
???????????????????????
(1)
且有?????????????????????????
?????????????????????????
?(2)
????????????????????????
(3)
由(1)得?????????????????????????????????????????
(4)
将(4)代入(2)和(3)得??
????????????????????????????
(5)
?????????????????????
(6)
由（5）和（6）得???
??
??????????????????????????????????
(7)
将（7）代入（5）（或（6））得所求柱面方程为
即?
.
例2?
已知圆柱面的轴为，点M1(1，－2，1)在此柱面上，求这个圆柱面的方程.
解法一?
记所求的圆柱面为S.
因S的母线平行于其轴，母线的方向数为1，－2，－2，若能求得圆柱面的准线圆，则用例1的方法即可解题.
空间的圆总可看成某一球面与某一平面的交线，故圆柱面的准线圆可看成以轴上的点.
M0(0，1，－1)为中心，为半径的球面与过已知点M1(1，－2，1)
且垂直于轴的平面的交线，即准线圆G
是
设为G
上的任意点，则
???????
（1）
?????????
（2）
S的过的母线为
?????
?（3）
由（1）、（2）、（3）消去参数x1，y1，z1，得S的方程为?????????????????????????????????????????
.
将圆柱面看成动点到轴线等距离点的轨迹，这里的距离就是圆柱面的半径，那么例2就有下面的第二种解法.
解法二?
因轴的方向向量为v
=
{1，－2，－2}，轴上的定点为M0(0，1，－1)，M1(1，－2，1)是S上的定点，点M1到l的距离
.
设M(x，y，z)
是圆柱面上任意一点，则M到轴l的距离为，即
化简整理就得S的方程为
二、柱面的判定定理
定理4.1.1??
???
在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与
xoy坐标面的交线分别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面.
??
???
三、空间曲线的射影柱面
空间曲线L:?(15),如果我们从（15）中依次消去一个元，可得，任取其中两个方程组，比如（16）那么方成这样（16）和（15）是两个等价的方程组，也就是（16）表示的曲线和（15）是同一条，从而曲面
都通过已知曲线(15)；同理方程表示的曲面也通过已知曲线(15)。有定理4.1.1知，曲面表示一个母线平行于z轴的柱面，在直角坐标系下，起母线垂直于xoy坐标面，我们把曲面叫做空间曲线（15）对xoy坐标面射影的射影柱面，而曲线叫做空间曲线（15）在xoy坐标面上的射影曲线。
同理，与分别叫做曲线（15）对xoz坐标面与yoz坐标面射影的射影柱面，而曲线和叫做空间曲线（15）在xoz坐标面与yoz坐标面上的射影曲线。
4.2?
锥面
定义4.2.1?
在空间，通过一定点且与一条定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.
这里定点叫做锥面的顶点，定曲线叫锥面的准线，直线族中的每一条都叫锥面的母线.
注：1°一个锥面的准线不惟一（举例）.
2°平面既是柱面也是锥面.
3°一条直线也是锥面.
4°若将柱面的母线看成在无穷远处相交的话，则柱面是一个顶点在无穷远点的锥面.
以下建立锥面的方程.
设锥面S的准线为
?????????????????
(1)
顶点为A(x0，y0，z0).
若M1(x1，y1，z1)
为准线上任一点，则过M1的锥面的母线方程为
??????????
???
(2)
且有????
?????????????
????????
(3)
从（2）、（3）4个等式中消去参数x1，y1，z1，最后得一个三元方程F(x，y，z)
=
0
就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面的方程.
这里消去参数的几何意义与柱面的情形类似，就是让点M1跑遍准线上的所有点，从而让动直线（2）“扫”出符合要求的锥面.
下面的定理给出了锥面方程的特征.
先介绍齐次函数的概念.
设为实数，对于函数，若
此处t的取值应使有确定的意义，则称为n元次齐次函数，对应的方程=
0为次齐次方程.
例?
u
=
x2y＋2yz2＋xyz为三次齐次函数.
定理4.2.1?
一个关于x，y，z的齐次方程总表示一个顶点在原点的锥面.
证：
由齐次方程的定义有.
当时有，故曲面S：过原点.
设为S上非原点的任意点，则满足，即有.
而直线的方程为
代入=
0，得，即直线上的所有点的坐标满足曲面S的方程.
因此直线在曲面S：上，故曲面S：是由这种通过坐标原点的直线组成，因而是以原点为顶点的锥面.
推论?
一个关于x－x0，y－y0，z－z0的齐次方程总表示一个顶点在(x0，
y0，
z0)的锥面.
证?
设有x－x0，y－y0，z－z0的齐次方程
F
(x－x0，y－y0，z－z0)
=0?
(*)
作坐标变换，则(*)化为
(**)
(**)为齐次方程，故表示以为顶点的锥面.
从而
表示顶点在点的锥面.
注?
在特殊情况下，一个关于的齐次方程可能只表示原点.
例如.
这样的曲面，一般称为有实顶点的虚锥面.
例1?
锥面的顶点为原点，准线为，求锥面的方程.
解?
设为准线上任意一点，则过M1的母线为：
???????
(4)
且有??????????
?????????
(5)
????????
(6)
将
(6)代入(4)得???
?????????
(7)
将(7)代入(3)得?????
????????
(4.2－1)
这就是所求的锥面，称为为二次锥面.
二次锥面的方程(4.2－1)所表示的图形，当a
=
b时就是我们熟悉的圆锥面.
例2?
已知一圆锥面的顶点为A(1，2，3)，轴l垂直于平面，母线与轴l组成30°的角，试求该圆锥面的方程.
解?
设为所求曲面S的任一母线上的任一点，则过M的母线的方向向量为
由题，圆锥的轴线的方向向量即为平面p的法向量n
=
{2，2，－1}.
根据题意v和n的夹角是30°或150°，故有???????
即???????????????????????????????
化简整理得圆锥面的方程是
这是一个关于x－1，y－2，z－3的二次齐次方程.
此结果也是对定理4.2.1的推论的一个直接验证.
因圆锥面是一种特殊的锥面，上面的解法是一种适合于圆锥面的特殊方法.
我们当然可以先求出圆锥面的准线，再利用顶点与准线求出该圆锥面的方程.
4.3
旋转曲面
?
1．一般的旋转曲面方程
定义4.3.1?
在空间，一条曲线G
绕一定直线l旋转一周所产生的曲面S叫做旋转曲面（或回转曲面）.
G
叫做S的母线，l称为S的的旋转轴，简称为轴.
设为旋转曲面S的母线G上的任一点，在G
绕轴l旋转时，也绕l旋转而形成一个圆，称其为S的纬圆、纬线或平行圆.
以l为边界的半平面与S的交线称为S的经线.
S的纬圆实际上是过母线G
上的点且垂直于轴l的平面与S的交线.
S的所有纬圆构成整个S.
S的所有经线的形状相同，且都可以作为S的母线，而母线不一定是经线.
这里因为母线不一定为平面曲线，而经线为平面曲线.
在直角坐标系下，设旋转曲面S的母线为
G：????????
???????
(1)
旋转轴为
l????????????
(2)
这里为l上一点，X，Y，Z为l的方向数.
设M1
(x1，y1，z1)
为母线G
上的任意点，过M1的纬圆总可看成过且垂直于轴l的平面与以P0为中心，为半径的球面的交线.
故过M1的纬圆的方程为
????????
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????
(3)
?????????????????
??(4)
当M1跑遍整个母线时，就得出旋转曲面的所有纬圆，所求的旋转曲面就可以看成是由这些纬圆构成的.
由于M1
(x1，y1，z1)
在母线G
上，有
?????????????
(5)
从（3）、（4）、（5）4个等式消去参数x1，y1，z1得一个方程
F
(x，y，z)
=
0
即为S的方程.
例1
求直线G
：绕直线旋转所得的旋转曲面S的方程.
解?
设M1
(x1，y1，z1)
为母线G
上的任一点，因旋转轴过原点，过M1的纬圆方程为
????????
?
(7)
因M1在母线上，有?????
????????????????????????
(8)
由（8）得?????????
?
?
???????????????????
(9)
将(9)代入(7)得????????????
，
且??????????????????????
最后得?????????????????
即S的方程是????????????
.
2．坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程
任一旋转曲面总可以看作是由其一条经线绕旋转轴旋转而生成的.
故今后为了方便，总是取旋转曲面的一条经线作为母线.
更进一步，在直角坐标系下导出旋转曲面的方程时，我们常把母线所在的平面取作坐标平面，从而使旋转曲面的方程具有特殊的形式.
设旋转曲面S的母线为yOz平面上的曲线
旋转轴为y轴???????????????????????????????????
设M1(0，y1，z1)为母线上任一点，则过M1的纬圆为
且有????????????????????????????????????????
由以上两个方程组消可得，最后得旋转曲面的方程是
实际上，此旋转曲面的方程也可由前面的图直接得出.
设M1(0，y1，z1)为母线上任一点，M(x，y，z)为过M1的纬圆上的任意一点，则由上图中的辅助图可知
y1
=
y，?
z1
=
±|O"M1|
=±|O"M|
=±????????????????
(10)
因M1(0，y1，z1)在母线上，F(y1，z1)
=
0，将(10)的结果代入，就得所求的旋转曲面的方程为.
类似地，母线为，旋转轴为轴的旋转曲面的方程为：.
对于其它坐标平面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其方程可类似求出.
于是我们得到如下的规律：
当坐标平面上的曲线G
绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时，所得旋转曲面的方程可根据下面的方法直接写出：保持方程的形式不变，将曲线G
在坐标面里的方程中的与旋转轴同名的坐标保持不变，而以其它两个坐标的平方和的平方根来代替方程中的另一坐标.
例如，S为由面上的绕轴所得，则S的方程为.
例2?
让椭圆分别绕其长轴（x轴）和短轴（y轴）旋转，所得旋转曲面方程分别是：
??
和???
图形分别叫做长形旋转椭球面和扁形旋转椭球面，如下图.
例3?
将圆
绕z轴旋转，所得旋转曲面方程是：
化简整理得
此曲面叫环面，如下图所示，其形状象救生圈.
?
4.4?
椭球面?
定义4.4.1?
在直角坐标系下，由方程
?????????????????????????????????????????
(4.4－1)
所表示的曲面叫椭球面，或称椭圆面.
方程（4.4－1）叫做椭球面的标准方程.
其中a，b，c为任意的正常数.
通常假设a≥b≥c
>
0.
椭球面的几何性质
（1）对称性?
在方程（4.4－1）中，以－z代z，方程不变，故意椭球面（4.4－1）关于xy平面对称.
同理椭球面（4.4－1）关于yz平面和zx平面都对称.
椭球面的对称平面称为它的主平面.
在方程（4.4－1）中，同时以－y和－z代替y和z，方程不变，故椭球面（4.4－1）关于轴对称.
同理，椭球面（4.4－1）关于y轴和z轴也对称.
椭球面的对称轴称为它的主轴.
在方程（4.4－1）中，同时以－x，－y和－z代替x，y和z，方程不变，故椭球面（4.4－1）关于坐标原点对称.
椭球面的对称中心称为它的中心.
在a，b，c三个数中，若有两个相等，（4.4－1）表示一个旋转椭球面，而当这三个数都相等时，（4.4－1）就是一个球面.
所以球面和旋转椭球面都是椭球面的特殊情形.
（2）顶点，轴及半轴
椭球面（4.4－1）与其对称轴（即3坐标轴）的6个交点
(±a，0，0)，(0，±b，0)，(0，0，±c)
称为椭球面的顶点.
如果a
>
b
>
c
>0，则分别称2a，2b，2c为椭球面的长轴、中轴和短轴，而依称a，b，c为椭球面的半长轴、半中轴和半短轴.
这里的轴和半轴都是一个长度概念.
（3）范围
从椭球面的方程可以看出，有
|
x
|≤a，|
y
|≤b，|
z
|≤c
因此椭球面被完全封闭在一个长方体的内部，此长方体由6个平面
x
=±a，y
=
±b，z
=
±c
围成，这6个平面都与椭球面相切，切点就是椭球面的6个顶点.
（4）形状
用平行于坐标面的平面去截曲面，利用截痕分析曲面的形状，叫作平行截割法.
这种截痕类似于表示地形的等高线.
用平行截割法讨论椭球面，可知其形状大致如上图.
应注意截线中主椭圆的概念以及动椭圆如何在运动中产生了椭球面的过程分析.
椭球面的参数方程
椭球面的一般写成
?
，
0≤q≤p，0≤j≤2p
事实上，对，截线方程为：
表为?????????????????????????????
????????????
令???
，
则???????????????????????????????
???
当h
=
±c时，分别取，就得椭球面（4.4－1）的如上的参数方程.
例：设动点与点的距离等于从这点到平面的距离的一半，试求此动点的轨迹。
解：设动点，要求的轨迹为，则
即：
此即为的方程。
4.5?
双曲面
为了较为直观地理解双曲面的几何特征，先看一个例子.
将yz平面上的双曲线分别绕虚轴（z轴）和实轴（y轴）旋转，得到两个旋转曲面
?和
分别称为旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面.
它们的图形如下所示.
?
?
?
?
图1
图2
?
1．单叶双曲面
定义4.5.1?
在直角坐标系下，由方程
?
(a，b，c
>0)?
?????
???
(4.5－1)
所表示的图形称为单叶双曲面；而方程(4.5－1)称为单叶双曲面的标准方程.
性质与形状
（i）对称性?
单叶双曲面(4.5－1)关于三坐标轴，三坐标平面及原点对称.
原点是(4.5－1)的对称中心.
（ii）有界性?
由方程(4.5－1)可知，单叶双曲面(4.5－1)是无界曲面
（iii）顶点、与坐标轴的交点和与坐标面的交线
单叶双曲面(4.5－1)与x，y轴分别交于（±a，0，0），（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与z轴的交点（0，0，±ci）称为它的两个虚交点.
(4.5－1)与三坐标平面z
=
0，y
=
0和x
=
0交于三条曲线
???????????????????
(1)
?????????????????
??
(2)
????????????????
???
(3)
其中（1）叫单叶双曲面(4.5－1)的腰椭圆，（2）和（3）均为单叶双曲面上的双曲线.
（iv）与平行于坐标面的平面的交线
为考察(4.5－1)的形状，我们先用平行于xy平面的平面z
=
k去截它，其截线为
?????????????????
(4)
这是一族椭圆，其顶点为，，其半轴为b和a，当∣k∣逐渐增大时，椭圆（4）逐渐变大.
可见，单叶双曲面(4.5－1)是由一系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化.
再用一族平行于yz平面的平面x
=
k去截(4.5－1)，其截线为
?????????????
????
(5)
当∣k∣<
a时，（6）为一双曲线，其实轴平行于y轴，虚轴平行于z轴，其顶点为，当∣k∣=
a时，（6）为二相交线，其交点为（k，0，0）当∣k∣>a时，（6）仍为双曲线，但其实轴平行于z轴，虚轴平行于y轴，其顶点.
最后，若用一组平行于zx平面的平面去截(4.5－1)，其截线情况与上述相仿.
截线图形如上图所示.
综上，单叶双曲面(4.5－1)的图形如图（1）所示.
图（1）中也画出了腰椭圆和两条主双曲线.
一般的单叶双曲面可以理解为将本节开始时得到的旋转单叶双曲面在x轴方向作一个伸缩变换而得到.
在直角系下，方程
或所表示的图形也是单叶双曲面，绘图时注意须确定其“虚轴”.
?
二?
双叶双曲面：
1
定义：在直角坐标系下，由方程
（a，b，c
>
0）??????????
(4.5－2)
所表示的图形称为双叶双曲面；而(4.5－2)称为双叶双曲面的标准方程.
几何性质与形状：
（i）对称性?
双叶双曲面(4.5－2)关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，原点为其中心.
（ii）有界性?
由(4.5－2)可见，双叶双曲面为无界曲面.
（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线?
双叶双曲面(4.5－2)与x轴、y轴不交，而与z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点.
双叶双曲面(4.5－2)与三坐标面交于三条曲线
??????????????????
(5)
?????????????
?????
(6)
???????????????
???
(7)
（5）是一个虚椭圆，表明双叶双曲面(4.5－2)与xy平面不相交（无实交点）.
（6）、（7）均为双曲线，其实轴为z轴，虚轴分别为y轴和x轴，其顶点为（0，0，±c）.
（iv）与平行于坐标面平面的交线：
为考察双叶双曲面(4.5－2)的形状，先用平行于xy面的平面去截(4.5－2)，其截线为
?????????????????
(8)
?
当∣k∣<
c时，(4.5－2)与z
=
k无实交点.
当∣k∣=
c时，(4.5－2)与z
=
k交于（0，0，±c）
当∣k∣>
c时，（8）为椭圆，其顶点为(0，±b，k)，(±a，0，k)，其半轴为b，a.
可见，双叶双曲面(4.5－2)是由z
=±c外的一系列“平行”椭圆构成.
这些椭圆的顶点在双曲线（6）和（7）上变化.
若用平行于yz面的平面去截(4.5－2).
其截线为
??????????????
???
(9)
对任意实数k，(9)均为双曲线，其实轴平行于z轴，虚轴平行于y轴，顶点为
(k，0，±c).
双叶双曲面(4.5－2)的示意图如前面的图（2），但准确地说，图（2）是双叶双曲面
的示意图.
最后，若用平行于zx面的平面去截(4.5－2)，其截线情况与上述相仿.
在直角系下，方程
和所表示的图形也是双叶双曲面.
最后谈谈单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别，这一点上有些学生容易出错.
两种双曲面的方程的左边都是x，y，z的平方项，有正有负，右边是1或－1.
把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面.
而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面.
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.
例：已知单叶双曲面，试求平面的方程，使这平面平行于面（或面）且与曲面的交线是一对相交直线。
解：设所求的平面为，则该平面与单叶双曲面的交线为：
（*）????
亦即???????????
为使交线（*）为二相交直线，则须：，即
所以，要求的平面方程为：
同理，平行于的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：
4.6?
抛物面
将yz平面上的抛物线绕轴旋转，所得旋转面为
可写成?????????????????????????????????????????
这是一个旋转抛物面，垂直与其对称轴的平面与它的交线是圆.
将该曲面沿着x轴或y轴的方向进行伸缩变形，或者说通过一个压缩变换，就得到一般的椭圆抛物面.
1．椭圆抛物面：
定义4.6.1?
在直角坐标系下，由方程
?????????????????????
??????????????
(4.6－1)
所表示的图形称为椭圆抛物面；而(4.6－1)称为椭圆抛物面的标准方程，其中a，b是任意的正常数.
几何特征和形状
（i）对称性：椭圆抛物面(4.6－1)关于z轴，yOz平面，zOx平面对称，无对称中心.
（ii）有界性：由(4.6－1)知z
=≥0，∴椭圆抛物面(4.6－1)位于xy平面的上方，且在z轴的正向无界.
（iii）顶点及与坐标平面的交线
?(4.6－1)与三坐标轴均交于原点，此为其顶点，而与三坐标面交于三条曲线
?????????????????????
(1)
????????????????????????(2)
???????????????????????(3)
（2），（3）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向均指z轴正向，对称轴均为z轴.
而（1）为原点.
（iv）与平行于坐标面平面的交线
首先，(4.6－1)与平行于xy平面的平面交于
?
?????????????(4)
当时，（4）为原点；
当时，（4）为椭圆，其顶点为（0，±b，k）,（±a，0，k）.
可见，椭圆抛物面(4.6－1)是由xy平面上方的一系列“平行”的椭圆构成的，这些椭圆的顶点在抛物线（2）和（3）上变化.
椭圆抛物面(4.6－1)与平行于yz平面的平面x
=
k交于抛物线
????????????????(5)
这些抛物线是全等的，其顶点为（，0，），对称轴平行于z轴，开口方向朝z轴正向.
最后，若用平行于zx平面的平面去截(4.6－1)，其截线情况与上述结论类似，由此可得椭圆抛物面的几何特征如下：
椭圆抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动过程中，动抛物线的顶点始终在定抛物线上，开口方向与定抛物线开口方向一致，且动抛物线所在的平面始终与定抛物线所在平面保持垂直，如上图所示.
在直角坐标系下，由方程或所表示的图形也是椭圆抛物面.
作图时应确定正确的对称轴，并正确标注坐标轴.
2．双曲抛物面：
定义4.6.2?
在直角坐标系下，由方程
?（a，b>0）?????????(4.6－2)
所表示的图形称为双曲抛物面，也叫马鞍面，而(4.6－2)称为双曲抛物面的标准方程.
几何特性与形状
（i）对称性?
双曲抛物面(4.6－2)关于z轴，yz平面，zx平面对称，双曲抛物面无对称中心.
（ii）有界性?
由(4.6－2)知双曲抛物面(4.6－2)是无界曲线.
（iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线
(4.6－2)与三坐标轴均交于原点，就是它的顶点；(4.6－2)与三坐标面交于3曲线
??????
???????????
(6)
???????????????????(7)
?
?????????????????
(8)
（6）为交于原点的二相交直线，（7），（8）均为抛物线，其顶点均为原点，其开口方向一指z轴正向，一朝z轴负向.
对称轴均为z轴.
（iv）与平行于坐标平面的平面的交线：
首先，(4.6－2)与平行于xy平面的平面z
=
k交于曲线
????????????????
(9)
当时，（9）即（6）.
当时，（9）为双曲线，其顶点为（±a，0，k）.?
当?时，（9）仍为双曲线，其顶点为（0，±，k）.
可见，双曲抛物面(4.6－2)由平行于xy平面的一族“平行”双曲线构成，这些双曲线的顶点在抛物线（7）和（8）上变化.
双曲抛物面(4.6－2)的示意图如下.
?
?
?
?
另外，双曲抛物面(4.6－2)与平行于yz平面的平面交于抛物线
?????????????????????????????????????????????
??
(10)
这些均为全等的抛物线，其顶点（k，0，）在抛物线（7）上，对称轴平行于z轴，开口方向朝z轴负向，（7）的开口方向相反.
最后，若用平行于zx平面的平面去截(4.6－2)，其截线情况与上类似，由此可得如下结论.
双曲抛物面是由一抛物线沿另一定抛物线移动而形成的轨迹，在移动过程中，动抛物线的顶点始终在定抛物线上，开口方向与定抛物线开口方向相反，且它们所在平面始终保持垂直，如上图之右图所示意.
在直角坐标系下，由方程或所表示的图形也是双曲抛物面.
例：已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为面与面，且过点和，求这个椭圆抛物面的方程。
解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：
令确定与
和均在该曲面上。
有：
从而
所以要求的椭圆抛物面的方程为：
即：
4.7?
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
?
在前面我们已经注意到，柱面和锥面上都有一族直母线，单叶双曲面与双曲抛物面上也有直线存在。
一个连续族的直线产生的曲面称为直纹面，这个族的直线称为直纹面的直母线。
椭球面，双叶双曲面与椭圆抛物面均不是直纹面。
柱面、锥面、一条空间曲线的切线形成的曲面，主法线形成的曲面等都是直纹面，而且这些直纹面都是由一族直线构成的。
我们指出，单叶双曲面与双曲抛物面也是直纹面，而且是仅有的两种有两族直线的直纹面。
1．单叶双曲面的直纹性
设有单叶双曲面
?????????
???????
(1)
将其改写为并分解因式，就有
()
()
=????
?(2)
引进不等于零的参数u，并考察由（2）得到的方程组
???????????????
?(3)
与两方程组
????????????????????
?(4)
???????????????????
??(4")
方程组（4）和（4"）实际上是（3）中u→0和u→∞时的两种极限情形。
无论u取何值，（3）、（4）和（4"）都表示直线。我们把（3）、（4）和（4"）合起来的一族直线叫做u族直线。
现证明此u族直线可以构成单叶双曲面（1），从而它是（1）的一族直母线。
首先，u族直线中的每一直线均在单叶双曲面（1）上。因为当u≠0时，（3）的两式相乘就得（1），所以（3）表示的直线上的点都在曲面（1）上。而满足（4）和（4"）的点显然都满足（2），从而满足（1），因此直线（4）与（4"）上的点都在（1）上。
反过来，设(，，)是曲面（1）上任一点，则有
??
(5)
显然1＋与1－不能同时为零，不失一般性，设1+≠0。此时
若，取，则由（5）便得
所以点(，，)在直线（3）上。
若，则由（5）必有1－=
0，故点在直线（4）上。
因此曲面（1）上的任意一点必定在u族直线中的某一条上。
这就证明了单叶双曲面（1）由u族直线构成。因此单叶双曲面是直纹面，u族直线是单叶双曲面（1）的一族直母线，称为u族直母线。
同理，由直线
??（v≠0是常数）
?(6)
与另两条直线
??????????????????
(7)
???????????????
?
(7")
合组成的直线族是单叶双曲面（1）的另一族直母线，称其为单叶双曲面（1）的v族直母线。
下图表示了单叶双曲面上两族直母线递推大概的分布情况。
?
?
?
?
?
推论?
对于单叶双曲面上的任一点，两族直母线中各有一条通过这点。
为了避免取极限，常把单叶双曲面的u族直母线写成
???????
?
(4.7－1)
其中u，w不同时为零。当uw≠0时，各式除以w，(4.7－1)就化为（3），当u
=
0时便化为（4），当w
=
0时便化为（4"）。
将v族直母线写成
????????
(4.7－2)
其中v，t不同时为零。
(4.7－1)和(4.7－2)中的直线分别只依赖于u
:
w和v
:
t的值。
2．双曲抛物面的直纹性：
对于双曲抛物面
同样可以证明它有两族直母线，如下图。
它们的方程分别是
???????
?
?(4.7－3)
与
???
??
(4.7－4)
并且也有下面的结论：
推论?
对于双曲抛物面上的任一点，两族直母线中各有一条通过这点。
应注意双曲抛物面的两族直母线的方程都不用双参数的原因。
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线在建筑上有着重要的应用，人们常用它来构成建筑的骨架。
实例?
兰州第二热电厂的冷却水塔的形状是单叶双曲面，可现场向工人了解建筑时钢筋的构假特点。
单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有如下性质：
定理4.7.1?
单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面，而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交。
定理4.7.2?
单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线必是异面直线，而双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面。
例：求下列直纹面的直母线族方程：
（1）????
（2）
解：（1）从原方程得：
即：
亦即：
为了避免取极限，将上方程写成：
???????
（1）
若将原方程变形为：，则可得到：
???（2）
若令，，则（2）便是（1）
原曲面的直母线族是（1），其中不全为零。
（2）原方程变形为：
亦即：
?
??????????????????????????????????????????
?（1）
由?
得：?
???????????????????????????????????
（2）
（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。
?
小结
知识点回顾：?
（1）
柱面方程：设在给定的坐标系下，柱面S的准线为
?????????????????????????????????????????????????????????
(1)
母线的方向数为X，Y，Z.
若M1(x1，y1，z1)
为准线上任一点，则过M1的母线方程为
????
(2)
且有??
?????????
(3)
从（2）、（3）4个等式中消去参数x1，y1，z1，最后得一个三元方程
F(x，y，z)
=
0
就是以（1）为准线，以{X，Y，Z}为方向的柱面的方程.
（2）锥面方程：设锥面S的准线为
?????????????????????????????????????????????????????????
(1)
顶点为A(x0，y0，z0).
若M1(x1，y1，z1)
为准线上任一点，则过M1的锥面的母线方程为
??
(2)
且有??
????
(3)
从（2）、（3）4个等式中消去参数x1，y1，z1，最后得一个三元方程
F(x，y，z)
=
0
就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面的方程.
（3）旋转曲面方程：在直角坐标系下，设旋转曲面S的母线为
G：?????
(1)
旋转轴为
l???
(2)
这里为l上一点，X，Y，Z为l的方向数.
设M1
(x1，y1，z1)
为母线G
上的任意点，过M1的纬圆总可看成过且垂直于轴l的平面与以P0为中心，为半径的球面的交线.
故过M1的纬圆的方程为
????????
???????????????????????????????
(3)
??????
(4)
当M1跑遍整个母线时，就得出旋转曲面的所有纬圆，所求的旋转曲面就可以看成是由这些纬圆构成的.
由于M1
(x1，y1，z1)
在母线G
上，有
???????????????????????????????????????????????????????
(5)
从（3）、（4）、（5）4个等式消去参数x1，y1，z1得一个方程
F
(x，y，z)
=
0
即为S的方程.
（4）常见的二次曲面：
1.椭球面标准方程：；
参数方程：?
，
0≤q≤p，0≤j≤2p
2.
单叶双曲面标准方程：?(a，b，c
>0)
双叶双曲面标准方程：（a，b，c
>
0）。
3.
椭圆抛物面标准方程：，?
双曲抛物面标准方程：（a，b>0）
典型习题：
1、已知柱面的准线为：
且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程
中消去，得到：
即：
此即为要求的柱面方程。
2.
1、求顶点在原点，准线为的锥面方程。
解：设为锥面上任一点，过与的直线为：
设其与准线交于，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去参数，得：
即：
此为所要求的锥面方程。
3.
将直线绕轴旋转，求这旋转面的方程，并就可能的值讨论这是什么曲面？
解：先求旋转面的方程式：
任取母线上一点，过的纬圆为：
又?????????????
（3）
从（1）——（3）消去，得到：
此即为所求旋转面的方程。
当时，旋转面为圆柱面（以轴为轴）；
当时，旋转面为圆锥面（以轴为轴，顶点在原点）；
当时，旋转面变为轴；
当时，旋转面为单叶旋转双曲面。
4.
由椭球面的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为，设定方向的方向余弦分别为，试证：
证明：沿定方向到曲面上一点，该点的坐标为
该点在曲面上
即
5.
设动点与的距离等于这点到平面的距离的两倍，试求这动点的轨迹。
解：设动点，所求轨迹为，则
亦即：
此为的轨迹方程。
6.
已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为面与面，且过点和，求这个椭圆抛物面的方程。
解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：
令确定与
和均在该曲面上。
有：
从而
所以要求的椭圆抛物面的方程为：
即
7.在双曲抛物面上，求平行于平面的直母线。
解：双曲抛物面的两族直母线为：
?
及?
第一族直母线的方向矢量为：
第二族直母线的方向矢量为：
据题意，要求的直母线应满足：
要求的直母线方程为：????????
及?????????
：
?
?第五章?
二次曲线的一般理论
本章教学目的:
?学生在高中已经学习过二次曲线的标准方程和一些简单性质.
通过本章学习，要使学生在更加深入和系统的层次上掌握二次曲线及其相关的一般概念和各种几何性质，从总体上把握二次曲线的实质，熟悉化简二次曲线方程的方法，了解二次曲线的分类.
本章教学重点：（1）二次曲线与直线的关系，二次曲线的各种性质的讨论；
（2）二次曲线方程的化简；
本章教学难点:
（1）二次曲线的直径与切线的求法；（2）对二次曲线的渐进方向的理解，尤其是共轭直径的方向间的关系；（3）二次曲线方程的化简、同一二次曲线在新旧坐标系下图形的绘制.
本章教学内容：
5.0?
预备知识
1．绪论
二次曲线是一种重要的平面曲线．在平面直角坐标系或仿射坐标系下，这种曲线的方程总是一个关于x和y的二元二次方程，故统称其为二次曲线．二次曲线分为退化的和非退化的两大类，其中非退化的实曲线有椭圆（包括圆）、双曲线和抛物线3种．由于这3种曲线都可以看成一个平面与一个圆锥面的交线，人们也称其为圆锥曲线或圆锥截线．
本章的重点是详尽地讨论一般二次曲线的各种性质．
为了后面各章引用和讨论的方便，先对二次曲线的标准方程和一些简单的性质进行复习性的概述．
在复习了用标准方程表示的圆锥曲线之后，我们来讨论一般二次曲线．
在平面直角坐标系下，由二元二次方程
??????????????????????
??????
(1)
所表示的曲线，叫做二次曲线．其中二次项系数、和不全为零．
二次曲线中除了椭圆（包括圆）、抛物线和双曲线外，还有其他的曲线．当二次曲线的对称轴不与坐标轴平行，且二次曲线的中心或顶点不在坐标原点时，其方程一般不是标准的，形式比较复杂，表现为方程（1）中的各系数全不为零或很少为零．在本章，我们将讨论一般二次曲线的几何性质，给出二次曲线的中心、渐近线、直径、主直径和主方向等重要概念．
2．虚元素、无穷远元素及若干重要记号的引进
我们需要从研究直线与二次曲线的相交问题入手来认识二次曲线的某些几何性质．为了求直线与二次曲线的交点，就必须涉及到解二次方程的问题．因为二次方程的根可能是虚数，我们有必要像代数中引进虚数把实数扩充成复数那样，在平面上引进虚元素．
在平面上建立了笛卡儿坐标系之后，一对有序实数
(x，y)
就表示平面上的一个点，如果x和y中至少有一个是虚数，我们仍然认为
(x，y)
表示平面上的一个点，但把这样的点叫做平面上的虚点，而把x，y叫做这一虚点的坐标．相应地，我们把坐标是一对实数的点叫做平面上的实点．如果两个虚点的对应坐标都是共轭复数，那么这两点叫做一对共轭虚点，实点与虚点统称为复点。
当平面上引进了虚点之后，我们仍然可以讨论向量、直线等概念．设与为平面上的两复点，则称为以M1为始点、M2为终点的复向量，并记做，如果与中至少有一个为虚数，就称为虚向量；如果点M
(x，y)
的坐标满足表达式
其中l为复数，我们就说点M分M1M2为定比l，特别地把点叫做线段M1M2的中点．我们把
叫做由两点和决定的直线的参数方程，式中t为参数，它可为任意的复数．消去参数t得
Ax
＋
By
＋
C
=
0
称此方程为直线的一般方程，如果A，B，C与三个实数成比例，那么直线为实直线，否则叫做虚直线．
由于共轭复数之和为实数，所以连结两共轭虚点的线段的中点是实点．有时候，两条相交的虚直线的交点也是实点．
在平面上引进了虚点之后，曲线的方程中可能会出现虚系数．我们约定以后讨论问题时，只考虑实系数的曲线方程．但由于引入了虚点，实系数方程所表示的曲线上将可能含有许多虚点，甚至有的实系数方程所表示的曲线上只有虚点而无实点．
为了讨论某些特殊的问题，我们需要在平面上引入无穷远点和无穷远直线两个无穷远元素．我们认为，任两条平行直线在无穷远点相交，平面上所有的无穷远点构成无穷远直线．设x,
y∈C，则能用坐标（x，y）表示的点称为有穷远点．
为了以后讨论问题和书写的方便，引进下面的一些记号：
F
(x，y
)
≡
F1
(x，y)
≡
F2
(x，y)
≡
F3
(x，y)
≡
F
(x，y)
≡
根据这些记号的含义，可验证下面的恒等式成立：
?????????????????
?????????
F(x，y)
≡
xF1(x，y)
＋
y
F2(x，y)
＋
F3(x，y)??????????
???????
(5.0－1)
称F
(x，y)
的系数所组成的矩阵
为二次曲线（1）的系数矩阵，或称F
(x，y)
的矩阵；而用F
(x，y)
的系数所排成的矩阵
叫做F
(x，y)
的矩阵．显然，二次曲线（1）的系数矩阵A的第一、第二与第三行的元素分别是F1(x，y)、F2(x，y)
和F3(x，y)
的系数．
A和F
*都是实对称矩阵．
为了方便今后的讨论，再引进下面的几个行列式：
，
这里的I1是矩阵F*的迹（主对角线元素的和），I2
=
det
F*（矩阵F*的行列式），I3
=
det
A（矩阵A的行列式），而的两项分别是I3中元素a22和a11的代数余子式．
5.1?
二次曲线与直线的相关位置
现在我们来讨论二次曲线G
???
??????
(1)
与过点且具有方向X︰Y的直线l
????????????????????
????????????????
(2)
的交点．把（2）代入（1），整理可得一个关于t的方程
??
?(3)
利用前面的记号，（3）可写成
????
?
???
(5.1－1)
方程（5.2－1）可分以下几种情况来讨论．
1．F
(X，Y
)
≠
0．这时（5.1－1）是关于t的二次方程，它的判别式为：
D
=
[
F1
(
x0,
y0
)X
＋
F2
(
x0,
y0
)Y
]2
－
F
(X,
Y
)
F
(
x0,
y0
)
这又可分三种情况：
1°D＞0．方程（5.1－3）有两个不等的实根与，代入（2）便得直线l与二次曲线G
的两个不同的实交点．
2°D
=
0．方程（5.1－3）有两个相等的实根与，这时直线l与二次曲线G
有两个相互重合的实交点．
3°D＜0．方程（5.1－3）有两个共轭的虚根，这时直线l与二次曲线G
交于两个共轭的虚点．
2．F
(
X，Y
)
=
0，这时又可分三种情况：
1°F1
(
x0,
y0
)X
＋
F2
(
x0,
y0
)Y
≠
0．这时（5.1－3）是关于t的一次方程，它有惟一的一个实根，所以直线l与二次曲线G
有惟一的实交点．
2°F1
(
x0,
y0
)X
＋
F2
(
x0,
y0
)Y
＝
0，而F
(
x0,
y0
)
≠
0．这时方程（5.1－3）无解，所以直线l与二次曲线G
没有交点．
3°F1
(
x0,
y0
)X
＋
F2
(
x0,
y0
)Y
＝
F
(
x0,
y0
)
＝
0．这时方程（5.1－3）成为一个恒等式，它能被任何（实的或虚的）t值所满足，所以直线l上的一切点都是G
与l的公共点，也就是说直线l全部在二次曲线G
上．
注?
过点（x0，y0
）且具有方向X︰Y的直线l的一般方程是
将其写成参数方程，就是（2）．
X
≠
0时，直线l的方向是X︰Y当且仅当l的斜率是Y︰X．当X
=
0时，直线l的斜率不存在，或者说是正无穷，但l的方向却可以表示成0
:
1，因而用比X︰Y表示直线方向比用斜率表示显得更方便一些．
5.2?
二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
1．二次曲线的渐近方向
在5.2中我们已经看到，当二次曲线（1）和具有方向X
:
Y的直线（2）满足条件
??????
F
(X，Y)
≡???
(5.2－1)
时，直线与二次曲线或者只有一个实交点，或者没有交点，或者直线（2）全部在二次曲线（1）上，成为二次曲线的组成部分．
定义5.2.1?
满足条件F
(X，Y
)
=
0的方向叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向．
因为二次曲线（1）的二次项系数不能全为零，所以渐近方向X
:
Y所满足的方程（5.2－1）总有确定的解．
若，则把（5.2－1）改写成
得
若，则把（5.3－1）改写成
得????????????????????????
??????
若，则必有a12
≠
0，（5.2－1）变成
所以X
=
0或Y
=
0．由于任一方向X
:
Y都对应一个非零向量，X和Y不能同时为零，此时的解为
X
:
Y
=
1
:
0?
或?
X
:
Y
=
0
:
1
此时??????????????????????????????????
??????
从上可得，当且仅当I2
>
0时，二次曲线（1）的渐近方向是一对共轭的虚方向；I2
=
0时，（1）有一个实渐近方向；I2
<
0时，（1）有两个实渐近方向．二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无数多个．
二次曲线可以根据其实渐近方向的数目来分类．
定义5.2.2?
没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的．
因此，二次曲线（1）可按其渐近方向分为3类，判定标准是I2．
1）椭圆型曲线：I2
>
0；
2）抛物型曲线：I2
=
0；
3）双曲型曲线：I2
<
0．
我们前面讨论过的椭圆、抛物线和双曲线分别属于椭圆型、抛物型和双曲型二次曲线，但反过来，这三种类型的曲线除了包括椭圆、抛物线和双曲线外，还有其他几种曲线．
2．二次曲线的中心和渐近线
我们已经证明了，当直线l的方向X
:
Y为二次曲线G
的非渐近方向时，即当时，l与G
总交于两个点（两不同实交点、两重合实交点或两共轭虚交点），我们称由这两点确定的线段为二次曲线的弦．
定义5.2.3?
如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点，那么点C叫做二次曲线的中心．
根据定义，C是二次曲线的对称中心．当点
(x0，y0)
为二次曲线G的中心时，以G
的任意非渐近方向为方向的直线（2）与G
交于两点M1和M2，点
(x0，y0)
就是弦M1M2的中点．把（2）代入G
的方程（1），就得方程（5.2－1）．
设和是弦M1M2的两端点．对于直线（2）上的这两个点，应有
，???
因
(x0，y0)
是M1M2的中点，有
于是有??????????????????????????????????????
因X和Y不能同时为零，故必有
由于t1和t2是方程的两个根，根据韦达定理就有
?????
??
??
(4)
因为X
:
Y可以是二次曲线G
的任意非渐近方向，关于X、Y的一次齐次方程（4）有无穷多个解，方程的系数必全为零，即有
?????
?
，?
?
??????
(5)
反过来，如果点
(x0，y0
)
满足（5）式，则逆推而上，必有
(x0，y0
)
是二次曲线（1）的中心的结论．
于是我们已经证明了
命题5.2.1?
点C
(x0，y0)
是二次曲线的中心的充要条件是
???????
?
????
(5.2－2)
推论?
坐标原点是二次曲线的中心的充要条件是曲线的方程里不含x与y的一次项．
根据（5.2－2），二次曲线的中心实际上由方程组
??
?????
???
(5.2－3)
确定．
有时为了方便记忆，可利用偏导数的记号将方程组（5.2－3）写成
因为对于二次曲线F(x,
y)
=
0，恒有，．
如果，那么（5.3－3）有惟一解，这时二次曲线（1）有惟一中心，（5.2－3）的解即为中心的坐标．
如果，即，那么当时，（5.3－3）无解，二次曲线（1）没有中心；而当=时，（5.3－3）有无数多解，这时两条直线和重合，该直线上的所有点都是二次曲线（1）的中心，这条直线叫做二次曲线的中心直线．
定义5.2.4?
有惟一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心二次曲线与线心二次曲线统称为非中心二次曲线．
根据这个定义与确定中心的方程组（5.2－3），我们得到二次曲线按其中心的分类：
1）中心曲线：；
2）非中心曲线：I2
=
0，即；
1°无心曲线：；
2°线心曲线：．
至此，我们已经给出了二次曲线的两种分类，一种是按渐近方向分类，一种是按中心分类．容易看出，椭圆型曲线和双曲型曲线都是中心曲线，而抛物型曲线是非中心曲线，它包括无心曲线和线心曲线．
定义5.2.5?
通过二次曲线的中心，且以二次曲线的渐近方向为方向的直线叫做此二次曲线的渐近线．
椭圆型曲线有两条虚渐近线而无实渐近线，双曲型曲线有两条实渐近线．对于抛物型曲线，无心曲线无渐近线，线心曲线有一条渐近线，就是它的中心直线．
命题5.2.2?
二次曲线的渐近线与此二次曲线或者没有交点，或者整条直线都在这二次曲线上，成为二次曲线的组成部分．
证?
设直线（2）是二次曲线（1）的渐近线，这里
(x0，y0)
为二次曲线（1）的中心，X
:
Y为（1）的渐近方向，则有
F
(
X,
Y
)
=
0
根据直线与二次曲线的相交情况的讨论，即对方程（5.1－1）的解的讨论，当
(x0，y0)
不在二次曲线上，即时，（5.1－1）无解，渐近线（2）与二次曲线（1）没有公共点；当
(x0，y0)
在二次曲线上，即时，（5.1－1）有无穷多解，渐近线（2）上的点全部在二次曲线（1）上，成为二次曲线的组成部分．（证毕）
特别地，我们指出下面的结论：
命题5.2.3?
设二次曲线G：是中心型二次曲线，(x0，y0)
是G
的中心，则G
的两条渐近线的方程是
???
?
????
(5.2－4)
证?
设X
:
Y是G
的渐近方向，则X
:
Y必满足
???????
即?????
?
当
(x0，y0)
是G
的中心时，G
的渐近线的方程可写为
由此即得X
:
Y
=
，代入，就得（5.2－4），它恰好表示G
的两条渐近线．当G
为双曲型曲线时，（5.2－4）的，方程可在实数范围内分解成两个一次方程，表示两条实渐近线；当G
为椭圆型曲线时，，方程表示两条虚渐近线．
作为命题5.2.3的直接推论，我们可以直接写出椭圆和双曲线
的渐近线方程为
5.3?
二次曲线的切线
定义5.3.1?
如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，重合的交点叫做切点．如果直线全部在二次曲线上，也称其为二次曲线的切线，此时直线上的每一点都可以看作切点．
设M0
(x0，y0)
是二次曲线（1）上的任一点，则过M0的直线l的方程总可以写成（2）的形式：
代入（1）的方程得（5.1－1）．欲使l成为（1）的切线，当F
(
X,
Y
)
≠
0时，必须使判别式
???
??
(6)
因为M0
(x0，y0)
在二次曲线上，F
(x0，y0
)
=
0，因而（6）变为
?????
?
???
????
??
(7)
当F
(
X,
Y
)
=
0时，若直线l是二次曲线（1）的切线，则必定整条直线都在二次曲线上，因而除了F
(x0，y0
)
=
0外，惟一的条件仍然是（7）．
于是当方向X
:
Y满足条件（7）时，直线（2）一定是过二次曲线上一点M
0
(x0，y0
)
的切线．
如果和不全为零，那么由（7）有
X
:
Y
=:
(－)
因此过二次曲线上的点M0
(x0，y0
)
的切线方程为
即????
??
??????
?
??
(5.3－1)
亦即????
???
?
(5.3－2)
如果=?=
0，那么（7）变为恒等式，任意的方向X
:
Y都是二次曲线的切方向，从而切线不确定，通过点M0
(x0，y0)的任意直线都是二次曲线的切线．
定义5.3.2?
二次曲线（1）上满足条件=?=
0的点
(x0，y0)
叫做二次曲线的奇异点，简称为奇点．二次曲线上的非奇异点叫做二次曲线的正常点．
命题5.3.1?
如果
(x0，y0)
是二次曲线（1）的正常点，那么二次曲线通过点(
x0，y0
)
的切线方程是，(
x0，y0
)
是它的切点．如果
(
x0，y0
)
是二次曲线（1）的奇点，那么二次曲线通过点
(
x0，y0
)
的切线不确定，或者说通过点
(
x0，y0
)
的每一条直线都是二次曲线（1）的切线．
推论?
如果
(x0，y0
)
是二次曲线（1）的正常点，那么二次曲线通过点
(
x0，y0
)
的切线方程是
??????
?
?
?
(5.3－3)
证?
把方程（5.3－2）改写为
上式就是
??
??
????
????
(8)
即???
整理即得（5.3－3）．
公式（5.3－3）具有便于记忆的特点．若确定了点
(x0，y0)
是二次曲线（1）的正常点，在（1）中把用代替，把用代替，把xy用
(
x0y
＋
xy0
)
/
2代替，把x用
(
x
＋
x0
)
/2，y用
(
y
＋
y0
)
/2代替，最后得到的就是二次曲线过正常点
(
x0，y0
)
的切线方程．
容易证明，椭圆、抛物线和双曲线上没有奇点．因而对于椭圆和双曲线以及抛物线上的一个正常点
(
x0，y0
)，这几种曲线过
(
x0，y0
)的切线方程是
，
我们得出的公式（5.3－3）不能解决点
(x0，y0)
不在二次曲线上时的切线的存在性以及切线存在时直接写出切线方程的问题．这些问题以及与切线和奇点有关的本节没有涉及的其他问题，我们将在后面专门讨论．
在下例中，我们介绍一种间接的分析方法，以便对于给定的二次曲线G，求G
外一点的切线．
例1?
求二次曲线x2
－
xy
＋
y2
－
1
=
0通过点
(0，2)
的切线方程．
解法一?
因为F
(0，2)
=
3，所以点
(0，2)
不在曲线上，因而不能直接应用本节给出的切线公式．
过点
(0，2)
的直线方程可写成
其中t为参数，X，Y为直线的方向数，因为
F1
(0，2)
=
－
1，F2
(0，2)
=
2
根据直线与二次曲线的相切条件（6）就得
－
3()
=
0
化简得?
?
?
2?－
=
0
即??????
??
(2X
－
Y)(X
＋
Y
)
=
0
由此得??
?
X
:
Y
=
1︰2?
或?
X
:
Y
=
1︰－
1
这两个方向都不是已知二次曲线的渐近方向，所以就是所给二次曲线过点
(0，2)
的切线的方向．于是所求的切线方程为
??
或???
即??
?
2x
－
y
＋
2
=
0?
或?
x
＋
y
－
2
=
0
解法二?
设过
(0，2)
的切线与已知二次曲线相切于点
()，那么切线方程为
即
????????
??
????????????
(9)
因为它通过点
(0，2)，所以
(0，2)
满足方程，将
(0，2)
代入化简得
???
?
?
(10)
另一方面，点
()
在二次曲线上，所以又有
??????????
?
?
(11)
解（10）和（11）联立的方程组，得切点坐标
??
与?
?
将切点坐标分别代入（9），得所求的切线方程为
2x
－
y
＋
2
=
0?
和?
x
＋
y
－
2
=
0
?以下给出专著《二次曲线》中关于奇点和切线的几个结论。
命题5.3.2?
二次曲线有奇点的充要条件是中心在曲线上，且此时中心就是奇点。
命题5.3.3?
二次曲线G
有奇点，当且仅当下列情况之一成立：
?
i）I3
=
0，I2
>
0．此时椭圆型二次曲线G
退化为它的惟一中心，变成点椭圆，G
的中心也就是G
的惟一奇点．
?
ii）I3
=
0，I2
<
0．此时双曲型二次曲线G
退化为两相交直线，G
有惟一奇点，就是G
的惟一中心——两条相交直线的交点．
?
iii）I3
=
I2
=
K1
=
0．此时抛物型二次曲线G
退化为两重合直线，G
有无数多个奇点，这些奇点构成G
的中心直线，也就是G
自身，G
上每一点都是奇点．
由命题5.3.3可知，=0是二次曲线有奇点的必要条件。
下面是关于切线的一个重要的统一公式：
命题5.3.4?
对任一实点，无论其是否在二次曲线（1）上，（1）的过M0
的切线方程皆为
?(5.4-4)???????????????????????????????????????????
?????????????????????????????????????
证?
过M0的以X
:
Y为方向的直线的方程总可以写为
?
????
?
－
∞<
t
<
＋
∞??
???????
(12)
将（12）代入（1）就得
?
?
????
?
??
(13)
此方程的根t确定直线l与二次曲线G
的相关位置．若定义G
的切线为与G交于相互重合的两点的直线，不妨假定，即X
:
Y不是G
的渐近方向，则l与G
相切的充要条件是二次方程（13）的判别式等于零，即
???????????????????????????????
???
????????????
?
(14)
这是一个关于X和Y的二次齐次式方程，其中X
:
Y是切线的方向．由（12）应有
代入（14）即得一个关于和的二次齐次式：
????
??????
???
(5.3－5)
改写之就得方程（5.3－4）．
由于此时直线（12）的方向满足（12）与（1）相切的条件（14），方程（5.3－5），也就是方程（5.3－4），即表示二次曲线（1）的过点M0的切线．（证毕）
当M0为（1）上的正常点时，F0
=
0，切线方程（5.3－4）变为
这正是一般解析几何教科书上的结论．
当M0不二次曲线G
上时，若（5.3－4）的左边能够在实数域上分解为两个关于x
－
x0和y
－
y0的一次因式的积，则表示G
的过M0的两条实切线，否则就表示两条虚切线．
5.4?
二次曲线的直径
1．二次曲线的直径
我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况．当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时，这条直线与二次曲线总交于两点（两个不同的实点，两个重合的实点或一对共轭的虚点），这两点决定了二次曲线的一条弦．现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹．
命题5.4.1?
二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线．
证?
设X
:
Y是二次曲线的一个非渐近方向，即F
(X，Y)
≠
0，而
(x0，y0
)
是平行于方向X
:
Y的弦的中点，那么过
(
x0，y0
)
的弦为
它与二次曲线F
(x，y)
=
0的两交点（即弦的两端点）由如下二次方程
F
(X，Y)?＋
F
(
x0,
y0
)
=
0???????
(2)
的两根与所决定，因为
(
x0,
y0
)
为弦的中点，根据前面关于中心的有关讨论，必有
?＋
=
0
从而有??????
这说明平行于方向X
:
Y的弦的中点
(
x0，y0
)
的坐标满足方程
??????
???????(3)
即
也就是
??????
???????(5.4－1)
反过来，如果点
(
x0，y0
)
满足方程（5.4－1），那么方程（2）将有绝对值相等而符号相反的两个根，点
(
x0，y0
)
就是具有方向X︰Y的弦的中点，因此方程（5.4－1）为一族平行于某一非渐近方向X︰Y的弦的中点轨迹的方程．
方程（5.4－1）的一次项系数不能全为零，这是因为当
时，将有
这与X︰Y是非渐近方向的假设矛盾，所以（5.4－1）是一个二元一次方程，它是一条直线．命题得证．
定义5.4.1?
二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径．
如前所述，斜率k
=
Y
/
X对应方向X
:
Y，故有
推论?
如果二次曲线的一族平行弦的斜率为k，那么共轭于这族平行弦的直径方程是
??????
???????
????????(5.4－2)
这里定义的二次曲线的直径是一条实直线而不是一条线段，因为平行于某个非渐近方向的平行弦不论是两实点的连线还是两虚点的“连线”，它们的中点都是实点，这些实点构成一条实直线而不仅仅是一条实线段．
认为直径是一条直线，这与以往所说的圆的直径是一条线段是有区别的．在大多数情况下，把包括圆在内的所有二次曲线的直径都看成直线更便于进行理论讨论．
由于二次曲线的非渐近方向X
:
Y一般有无穷多个，从方程（3）或（5.4－2）可以看出，如果F1
(x，y)
=
0和F2
(x，y)
=
0表示两条不同的直线，方程（5.4－1）表示的直线就构成一个平面直线束．记此直线束为H，则H具有如下的性质：
当时H为中心直线束，当时H为平行直线束；如果F1(x，y)
=
0和F2(x，y)
=
0表示同一直线，这时，那么（3）或（5.4－2）只表示一条直线．
如果F1(x，y)
=
0和F2(x，y)
=
0中有一个为矛盾方程，比如F1(x，y)
=
0中a11=
a12
=
0，，这时成立且（3）或（5.4－2）仍表示一平行直线束；若F1
(x,
y)
=
0和F2
(x,
y)
=
0中有一个为恒等式，比如F1
(x,
y)
=
0中a11
=
a12
=
a13=
0，则成立，（3）或（5.4－2）只表示一条直线．
因此当，即二次曲线为中心曲线时，它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心；当，即二次曲线为无心曲线时，它的全部直径属于一个平行直线束，它的方向为二次曲线的渐近方向X︰Y
=:=:；当，即二次曲线为线心曲线时，二次曲线只有一条直径，它的方程是
?
(或)
即线心二次曲线的中心直线，因此我们有：
命题5.4.2?
中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条，就是曲线的中心直线．
图5.4.1给出了三种二次曲线的直径的情形，图中直径用粗线画出．
?（a）中心曲线，直径是中心直线束
（b）无心曲线，直径是平行直线束
（c）线心曲线，直径是一条直线
图5.4.1
例1?
求椭圆或双曲线的直径．
解?
F
(x，y)≡，
F1(x，y)＝，
F2(x，y)＝
根据（3），共轭于非渐近方向X︰Y的直径方程是
显然，直径通过曲线的中心（0，0）．
例2?
求抛物线＝2px的直径．
解?
??????
F
(x，y)≡2px
－
＝0
F1(x，y)＝p，F2(x，y)＝－
y
共轭于非渐近方向X︰Y的直径为
X
p
－
Y
y＝0
即??????
y＝
所以抛物线＝2px的直径平行于它的渐近方向1︰0．
注?
这里的X︰Y是抛物线＝2px的任一非渐近方向．抛物线＝2px的渐近方向是满足齐次方程=
0的解．当Y"
=
0时，X"
≠
0，因而解是1
:
0．而直径y
=
pX
/
Y的方向恰是1︰0，这也是x轴的方向．
例3?
求二次曲线F
(x，y)≡的共轭于非渐近方向X︰Y的直径
解?
∵
F1
(x，y)＝x
－
y
＋
1，F2
(x，y)＝－
x
＋
y
－
1
???
∴
直径方程为
??????
X
(x
－
y
＋
1)
＋
Y
(－
x
＋
y
－
1)＝0
即??????
?(X
－
Y
)(x
－
y
＋
1)＝0
因为已知曲线F
(x，y)＝0的渐近方向为X
"︰Y
"＝1︰1，所以对于非渐近方向X︰Y一定有X
≠
Y,因此曲线的共轭于非渐近方向X︰Y的直径为
x
－
y
＋
1＝0
它只有一条直径．
事实上，所给的曲线是线心二次曲线，所以只有一条直径．
2．共轭方向与共轭直径
二次曲线的与非渐近方向X︰Y共轭的直径方程总可以写成（5.4－1）的形式，而（5.4－1）的方向是
??????
??
X"︰Y"＝－
︰??????
??????
?(5.4－3)
我们称这个方向为非渐近方向X︰Y的共轭方向．
根据（5.4－3），存在非零实数t，使得
X"＝－
t，Y"＝t
因此有
因X︰Y为非渐近方向，F
(X,
Y
)
≠
0，而由所设t
≠
0，因此当I2
≠
0，即二次曲线为中心二次曲线时，F
(X
",
Y
"
)
≠
0；当I2＝0，即二次曲线为非中心二次曲线时，F
(X",
Y"
)＝0．因此有
命题5.4.3?
中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而非中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是渐近方向．
由（5.4－3）得二次曲线的非渐近方向X︰Y与它的共轭方向X"︰Y"
之间的关系是
??????
???????(5.4－4)
从（5.4－4）式看出，两个方向X︰Y与X"︰Y"
是对称的，因此对中心曲线来说，非渐近方向X︰Y的共轭方向为非渐近方向X"
:
Y"，而:
Y"
的共轭方向就是X︰Y．
任意给定一个非渐近方向X︰Y，作一组平行于这个方向的平行弦，它们的中点就确定一条共轭于非渐近方向X︰Y的直径l"，设其方向为X"
:
Y"．若X"
:
Y"也是非渐近方向，则同样由X"
:
Y"
也确定一条直径l，l的方向必然是X︰Y．
定义5.4.2?
中心二次曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径．
设?
，代入（5.4－4），得
??????
???????????
???????????????????????
(5.4－5)
这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式．
例如椭圆的一对共轭直径的斜率k与k"
有关系
即??????
??
????????(4)
而双曲线的一对共轭直径的斜率k与k"
有关系
??????
?
???????
(5)
在（5.4－4）中，如果设
X"︰Y"＝X︰Y
那么有??????
显然此时X︰Y为二次曲线的渐近方向．因此如果对二次曲线的共轭方向从（5.4－4）作代数的推广，那么渐近方向可以看成自共轭方向，从而渐近线也就可以看成与自己共轭的直径．
从（14）看出，椭圆的任何一对共轭直径的斜率k与k"
都具有相反的符号（假定k与k"
皆不为零），所以这一对共轭直径不能在同一象限里（图5.4.2）．并且当k
>
0而k值增大时，k"
<
0而绝对值跟着减小．这表示当椭圆的一条直径绕中心逆时针方向转动时，它的共轭直径也绕着中心逆时针方向转动．
从（15）看出，双曲线的任何一对共轭直径的斜率k与k"
都具有相同的符号（假定k与k"
皆不为零），所以这一对共轭直径位于同一象限里（图5.4.
3）．因为当时，时，所以双曲线的一对共轭直径位于渐近线的异侧．其次，当k
>
0而k值增大时，k"
>
0而绝对值跟着减小．这表示当双曲线的一条直径绕中心逆时针方向旋转时，它的共轭直径绕着中心顺时针方向旋转．此外，如果一条直径的斜率趋近于（或
－），其共轭直径的斜率也趋近于（或
－．因此，双曲线的渐近线是它的一对共轭直径的极限位置．这就更详尽地说明了可以把双曲线的渐近线看成它的直径，即两条重合的自共轭直径．
?
图5.4.2
图5.4.3
?
由于例子中的讨论是在标准坐标系中进行的，若k与k"
中有一个为零，则另一个必为无穷大，实际上此时一对共轭直径是中心二次曲线的对称轴，也就是坐标轴．若根据极限的观点考虑，对于椭圆，可以认为时k?
＋∞，对应于图5.4.2中的直径l"
趋于x轴而共轭直径l趋于y轴，即两条不在同一象限的共轭直径向同一象限趋近，极限为同一象限的边界；对于双曲线，可以认为时k"
?
＋∞，对应于图5.4.3中的直径l趋于x轴而共轭直径l"
趋于y轴，两条在同一象限的共轭直径向不同的象限趋近，极限为不同象限的边界．
x
－
y
＋
1＝0
它只有一条直径．
事实上，所给的曲线是线心二次曲线，所以只有一条直径．
2．共轭方向与共轭直径
二次曲线的与非渐近方向X︰Y共轭的直径方程总可以写成（5.4－1）的形式，而（5.4－1）的方向是
??????
??
X"︰Y"＝－
︰??????
??????
?(5.4－3)
我们称这个方向为非渐近方向X︰Y的共轭方向．
根据（5.4－3），存在非零实数t，使得
X"＝－
t，Y"＝t
因此有
因X︰Y为非渐近方向，F
(X,
Y
)
≠
0，而由所设t
≠
0，因此当I2
≠
0，即二次曲线为中心二次曲线时，F
(X
",
Y
"
)
≠
0；当I2＝0，即二次曲线为非中心二次曲线时，F
(X",
Y"
)＝0．因此有
命题5.4.3?
中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而非中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是渐近方向．
由（5.4－3）得二次曲线的非渐近方向X︰Y与它的共轭方向X"︰Y"
之间的关系是
??????
???????(5.4－4)
从（5.4－4）式看出，两个方向X︰Y与X"︰Y"
是对称的，因此对中心曲线来说，非渐近方向X︰Y的共轭方向为非渐近方向X"
:
Y"，而:
Y"
的共轭方向就是X︰Y．
任意给定一个非渐近方向X︰Y，作一组平行于这个方向的平行弦，它们的中点就确定一条共轭于非渐近方向X︰Y的直径l"，设其方向为X"
:
Y"．若X"
:
Y"也是非渐近方向，则同样由X"
:
Y"
也确定一条直径l，l的方向必然是X︰Y．
定义5.4.2?
中心二次曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径．
设?
，代入（5.4－4），得
??????
???????????
???????????????????????
(5.4－5)
这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式．
例如椭圆的一对共轭直径的斜率k与k"
有关系
即??????
??
????????(4)
而双曲线的一对共轭直径的斜率k与k"
有关系
??????
?
???????
(5)
在（5.4－4）中，如果设
X"︰Y"＝X︰Y
那么有??????
显然此时X︰Y为二次曲线的渐近方向．因此如果对二次曲线的共轭方向从（5.4－4）作代数的推广，那么渐近方向可以看成自共轭方向，从而渐近线也就可以看成与自己共轭的直径．
从（14）看出，椭圆的任何一对共轭直径的斜率k与k"
都具有相反的符号（假定k与k"
皆不为零），所以这一对共轭直径不能在同一象限里（图5.4.2）．并且当k
>
0而k值增大时，k"
<
0而绝对值跟着减小．这表示当椭圆的一条直径绕中心逆时针方向转动时，它的共轭直径也绕着中心逆时针方向转动．
从（15）看出，双曲线的任何一对共轭直径的斜率k与k"
都具有相同的符号（假定k与k"
皆不为零），所以这一对共轭直径位于同一象限里（图5.4.
3）．因为当时，时，所以双曲线的一对共轭直径位于渐近线的异侧．其次，当k
>
0而k值增大时，k"
>
0而绝对值跟着减小．这表示当双曲线的一条直径绕中心逆时针方向旋转时，它的共轭直径绕着中心顺时针方向旋转．此外，如果一条直径的斜率趋近于（或
－），其共轭直径的斜率也趋近于（或
－．因此，双曲线的渐近线是它的一对共轭直径的极限位置．这就更详尽地说明了可以把双曲线的渐近线看成它的直径，即两条重合的自共轭直径．
?
图5.4.2
图5.4.3
?
由于例子中的讨论是在标准坐标系中进行的，若k与k"
中有一个为零，则另一个必为无穷大，实际上此时一对共轭直径是中心二次曲线的对称轴，也就是坐标轴．若根据极限的观点考虑，对于椭圆，可以认为时k?
＋∞，对应于图5.4.2中的直径l"
趋于x轴而共轭直径l趋于y轴，即两条不在同一象限的共轭直径向同一象限趋近，极限为同一象限的边界；对于双曲线，可以认为时k"
?
＋∞，对应于图5.4.3中的直径l趋于x轴而共轭直径l"
趋于y轴，两条在同一象限的共轭直径向不同的象限趋近，极限为不同象限的边界．
5.5??
二次曲线的主直径与主方向
?定义5.5.1?
二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向．
我们也可以定义二次曲线的主方向为一对既正交、又共轭的方向．
显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点．
现在我们来求二次曲线
??????
F(x，y)≡??
????
(1)
的主方向与主直径．
如果二次曲线（1）为中心曲线，那么与二次曲线（1）的非渐近方向X︰Y共轭的直径为（5.4－1）或（5.4－2）．设直径的方向为X
"︰Y
"，则由于两方向共轭，有
????
??
X"︰Y"＝︰??
?
(16)
由于方向X︰Y和X"︰Y"
垂直，在直角坐标系下，两向量{X︰Y}和{
X"︰Y"
}垂直，故其内积为零，即XX"
＋
YY"
=
0，或写成
??????????????????????????????
X"︰Y"＝－
Y︰X???
????
??
(17)
将（17）代入（16）就得
?
???
X︰Y＝︰?
???
??
(18)
因此X︰Y成为中心二次曲线（1）的主方向的条件是
????
?????
???????
(5.5－1)
成立，其中l
≠
0．（5.5－1）可改写成
?????????????????????
???????
??
?(5.5－1")
这是一个关于X，Y的齐次线性方程组．因为X，Y不能全为零，此齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式
????
???
?????
?
(19)
即??
?
??????
??
(5.5－2)
因此对于中心二次曲线来说，只要由（5.5－2）解出l，再代入（5.5－1）或（5.5－1"），就能得到它的主方向．
如果二次曲线（1）为非中心二次曲线，那么它的任何直径的方向总是它的惟一的渐近方向
X1
:
Y1＝
而垂直于它的方向显然为
X2
:
Y2＝＝
所以非中心二次曲线（1）的主方向有下面两种：
渐近主方向
?????
X1
:
Y1＝－
a12
:
a11
=
a22
:
(－
a12)????
??
(20)
非渐近主方向
????
?
X2
:
Y2＝a11
:
a12
=
a12
:
a22?
??????
?
(21)
在方程（5.5－2）中令I2
=
0，得其两根为
将这两个根代入（5.5－1）或（5.5－1"），得到的主方向恰好为非中心二次曲线的渐近主方向与非渐近主方向．
这样，我们就把根据方程（5.5－2）的根和（5.5－1"）求二次曲线的主方向的方法推广到了非中心二次曲线．
因此，一个方向X︰Y成为二次曲线（1）的主方向的条件是（5.5－1"）成立，这里的l是方程（5.5－2）的根．
定义5.5.2?
方程（19）或（5.5－2）叫做二次曲线（1）的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根．
从二次曲线（1）的特征方程（5.5－2）求出特征根l，把它代入（5.5－1）或（5.5－1"），就得到相应的主方向．如果主方向为非渐近方向，那么根据就能得到共轭于此主方向的主直径．
至此，我们需要解决特征根的存在问题，这有下面的命题保证．
命题5.5.1?
二次曲线的特征根都是实数．
证?
因为特征方程的判别式
D＝≥0
所以二次曲线的特征根都是实数．
命题5.5.2?
二次曲线的特征根不能全为零．
证?
如果二次曲线的特征根
l1=
l2=
0，那么由（5.5－2）及韦达定理得
即??
??
?与
从而得?
?
a11＝a12＝a22＝0
这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征根不能全为零．
命题5.5.3?
由二次曲线（1）的特征根l确定的主方向X︰Y，当l
≠
0时，为二次曲线的非渐近主方向；当l＝0时，为二次曲线的渐近主方向．
证?
首先
所以由（5.5－1）得
因X、Y不全为零，故当l
≠
0时，?≠
0，X︰Y为二次曲线（1）的非渐近主方向；当l＝0时，＝0，X︰Y为二次曲线（1）的渐近主方向．
命题5.5.4?
中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径．
证?
由二次曲线（1）的特征方程（5.5－2）解得两特征根为
1°当二次曲线（1）为中心曲线时，I2
≠
0．如果特征方程的判别式
D＝＝0，那么＝，＝0，这时的中心曲线为圆（包括点圆和虚圆），它的特征根为一对二重根
l＝a11＝a22
(≠
0)
把它代入（5.5－1）或（5.5－1"），则得到两个恒等式，它被任何方向X︰Y所满足，所以任何实方向都是圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线不仅都是直径，而且都是圆的主直径，于是圆有无数多条对称轴．
如果特征方程的判别式
D＝＞0，那么特征根为两不等的非零实根l
1，l
2，将它们分别代入（5.5－1"），得到相应的两个非渐近主方向
?
?
X1?:
Y1＝a12?:
(l1?－?a11)＝(l1?－?a22)
:
a12???
??
??
?(22)
?
?
X2?:
Y2＝a12?:
(l2?－?a11)＝(l2?－?a22)
:
a12??
??
???
(23)
这两个主方向是共轭的，现证明它们也是垂直的．
由（22）和（23），存在非零实数t使
????
{X1，Y1}×{X2，Y2}＝{a12
t，(l1
－
a11)
t}×{a12
t，(l2
－
a11)
t}
＝
＝
＝
＝
＝
0
所以这两个主方向也相互垂直，因此非圆的中心二次曲线有且只有一对互相垂直又互相共轭的主直径．
2°当二次曲线（1）为非中心曲线时，I2＝0，这时两特征根为
＝?＋
，?
＝0
所以它只有一个非渐近的主方向，即与l1＝?＋
对应的主方向，从而非中心二次曲线只有一条主直径．
例1?
求二次曲线的主方向与主直径．
解?
∵?
I1＝1
＋
1＝2，I2＝＝?≠
0
∴?
曲线为中心曲线，它的特征方程为
解此方程得到的两特征根为：
，?
将代入方程（5.5－1"），得
，即???
此方程组的解就是由特征根确定的主方向X1
:
Y1
=
1
:
1．
将代入方程（5.5－1"），得
故由特征根确定的主方向为X2
:
Y2
=
－
1
:
1．
又因为
，，所以所给二次曲线共轭于主方向1
:
1的主直径为
即???
x
＋
y＝0
所给二次曲线共轭于主方向
－
1
:
1的主直径为
－
即
?x
－
y＝0
例2?
求二次曲线的主方向与主直径．
解?
∵?
I1＝1
＋
1＝2，I2＝＝0
????
?∴?
曲线为非中心曲线，它的特征方程为
两特征根为??
l1＝2，l2＝0
因为l1＝2是非中心二次曲线的非零特征根，它确定二次曲线的非渐近主方向：
X1
:
Y1＝－
1︰(2
－
1)
=
－
1︰1
而特征根l2＝0确定二次曲线的渐近主方向：
X2
:
Y2＝－
1︰1︰1
因???
，
，
所以曲线的惟一主直径只能由非渐近主方向－
1︰1确定：
－(
x
－
y
－
2
)
＋
(－
x
＋
y
)＝0
即?
?
x
－
y
－
1＝0
5.6?
二次曲线方程的化简与分类
设在平面上给出了由两个标架
{O；i,?
j
}
和
{O"；i",?
j"
}
所决定的右手直角坐标系，这里i和j以及i"
和j"
是两组坐标基向量，它们是平面上的两个标准正交基，我们依次称这两个坐标系为旧坐标系和新坐标系．
由于坐标系的位置完全由原点和坐标基向量所决定，所以新坐标系与旧坐标系之间的关系，就由O"
在
{O；i,?
j
}
中的坐标以及i"
和j"
在
{O；i,?
j
}
中的分量所决定．
任一直角坐标变换总可以分解成移轴（也叫坐标平移）和转轴（也叫坐标旋转）两个步骤．
1．移轴
如果两个标架
{O；i,?
j
}
和
{O"；i,?
j"
}
的原点O与O"
不同，O"
在{O；i,?
j
}中的坐标为
(x0，y0)，但两标架的坐标基向量相同，即有
i"
=
i，?
j"
=
j
那么标架
{O"；i",?
j"}
可以看成是由标架
{O；i,?
j
}
将原点平移到O"点而得来的（图5.7.1）．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）．
设P是平面内任意一点，它对标架
{O；i,?
j}
和
{O"；i",?
j"}
的坐标分别为
(x，y)
与
()，则有
但?????????
，
，
于是有
故????
{x，y}
=
{x0，y0}
＋
{x"，y"
}
根据向量相等的定义得移轴公式为
图5.6.1
?
????????????????????????????
?????
???
(5.6－1)
从中解出x"
和y"，就得逆变换公式为
???????????????????????
?????
????
(5.6－2)
2．转轴
若两个标架
{O；i,?
j
}
和
{O"；i",?
j"}
的原点相同，即O
=
O"，但坐标基向量不同，且有∠(i，i"
)
=
a，则标架
{O"；i"，j"}
可以看成是由标架
{O；i，j
}
绕O点旋转a
角而得来的（图5.6.2）．这种由标架
{O；i，j
}
到标架
{O"；i"，j"}的坐标变换叫做转轴（坐标旋转）．
下面推导转轴公式．
设P是平面内任意一点，它对
{O；i,?
j
}
和
{O"；i",?
j"}
的坐标分别为
(x，y)
与
()，即有
因为∠(i，i"
)
=
a，新旧坐标基本向量之间有关系
图5.6.2
于是有
因为O和O"是同一点，，故可直接得到转轴公式：
????
????
??????
(5.6－3)
从（5.7－3）中解出x"
和y
"，就得到用旧坐标表示新坐标的逆变换公式：
????
???????
?
(5.6－4)
式中的a
为坐标轴的旋转角．
（5.6－4）式也可看成是由标架
{O；i"，j"}
绕O旋转－
a
角变到
{O；i，j}
的转轴公式．
*
根据线性代数的理论，（5.6－3）可写为，这里的坐标变换的矩阵是一个正交矩阵，因而其逆矩阵，逆变换公式可以直接由写出．
3．一般坐标变换公式
在一般情况下，由旧坐标系O－xy变成新坐标系O"－x"y"，总可以分两步来完成．即先移轴使坐标原点与新坐标系的原点O"
重合，变成坐标系O"－，然后再由辅助坐标系O"－x"y"
转轴而成新坐标系O"－x"y"（图5.6.3）．
设平面上任一点P的旧坐标与新坐标分别为
(x，y)
与
(x"，y"
)，而在辅助坐标系O"－x"y"
中的坐标为
(x"，y"
)，那么由（5.6－1）与（5.6－4）分别得
?
?
与??????
由上两式得一般坐标变换公式为
图5.6.3
?????
?????
??
(5.6－5)
由（5.6－5）解出x"，y"
便得逆变换公式
??????
???
(5.6－6)
平面直角坐标变换公式（5.6－5）是由新坐标系原点的坐标
(x0,
y0)
与坐标轴的旋转角
a
决定的．
4．由给定的新坐标轴确定的坐标变换
确定坐标变换公式，除了坐标平移和旋转外，还可以有其它方法．
假定已给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系中的方程，并规定了一个轴的正方向，就可以确定又一种坐标变换公式．
设在直角坐标系xOy里给定了两条相互垂直的直线
l1：，
l2：
其中．如果取直线l1为新坐标系中的横轴O"x"，而直线l2为纵轴O"y"，并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是（x，y）与（x"，y"）．因为
|
x"
|
是点M（x，y）到O"y"
轴的距离，也就是M点到l2的距离（图5.6.4），所以有
图5.6.4
同理可得??
于是在去掉绝对值符号以后，便得到一个坐标变换公式
?????????????????????????
????????
(5.6－7)
为了使新坐标系仍然是右手坐标系，可将（5.6－7）式与公式（5.6－4）比较来决定（5.6－7）中的符号．因
因此（5.6－7）中的第一式右端的x的系数应与第二式的右端的y的系数相等，所以（5.6－7）的符号选取要使得这两项的系数是同号的．
这种坐标变换的方法常用来在求得一般中心二次曲线的主直径的情况下，用两条主直径作为新坐标轴，把二次曲线的方程化为标准方程．
5．坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律
设二次曲线G
的方程为
?????
F
(x,
y)≡?????
(1)
为了选择适当的坐标变换以使曲线G在新坐标系下的方程最为简单，我们必须先了解在坐标变换下二次曲线方程的系数的变化规律．因为一般的坐标变换总可以看成是由移轴与转轴组成的，我们首先分别考察在移轴与转轴下，二次曲线G
的方程（1）的系数是怎样变化的．
在移轴（5.6－1）
下，设二次曲线G
的新方程为
?
???
??????????
???????????????????????????????
?????????????????
化简整理得：
这里???
??
(2)
因此可得
命题5.6.1?
在移轴（5.6－1）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为：
1°二次项系数不变；
2°一次项系数变为与；
3°常数项变为．
因为当（x0，y0）为二次曲线（1）的中心时，有=
0，，所以当二次曲线有中心时，作移轴使新原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中就不再包含一次项．
把转轴公式（5.6－3），即
代入（1），得在转轴（5.6－3）下二次曲线（1）的新方程为
这里
??????
?????
(3)
于是有
命题5.6.2?
在转轴（5.6－3）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为：
1°二次项系数一般要改变．新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关．
2°一次项系数一般要改变．新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，与二次项系数及常数项无关．
3°常数项不变．
从（3）中的
中解出，得
则可看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的一次项系数的变换规律与点的坐标x，y的变换规律完全一致．当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项；当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项．
二次曲线方程（1）里，若，我们往往使用转轴使新方程中的．为此，只要取旋转角a，使即可．
令??
得
??
???
?????
(5.6－8)
因为余切的值可以是任意实数，所以总有a
满足（5.6－8），也就是说总可以经过适当的转轴消去（1）中的xy项．
2．确定坐标变换步骤的基本原则
对任何一条二次曲线的方程，我们都可以先移轴、后转轴进行坐标变换，也可以先转轴、后移轴进行坐标变换，两种方法都可以将方程化简．
如果决定先转轴，则根据（5.6－8）可以确定坐标系的旋转角．因而无论对于何种类型的二次曲线，先转轴总是可行的．
如果决定先平移，就得先确定把旧坐标系的原点移到何处．对于中心二次曲线，我们一般把新坐标系的中心定为曲线的中心，而中心可以先求出．但对于无心二次曲线，为了得到曲线的标准方程，应该把新坐标系的中心定为曲线的顶点，而顶点却不易先求出．
于是，我们在利用坐标变换对二次曲线的方程进行化简时，一般都按照下面的原则进行：
先根据I2判断曲线的类型．
如果I2
≠
0，说明曲线是中心型的．应先求出中心，再移轴，然后转轴．
如果I2＝0，说明曲线是非中心型的，先转轴，消去交叉项xy后把所得的方程配方，一般就可以确定新坐标系的原点，再移轴．
经验证明，这里给出的原则可以在一定程度上减少方程化简的运算量．
3．二次曲线方程的化简实例与方法分析
以下通过对几个例题的分析，说明如何具体地对一个给定的二次曲线方程进行化简．
例1?
化简二次曲线方程，并画出它的图形．
解?
I2
=
1
×
4
－
2
2
=
0，曲线是抛物型（非中心型）的，应先转轴．
设旋转角为a，则应有：
即??
所以?
???
从而得?
??
?或
tana＝2
取tana＝2（若取tana＝－
1
/
2，同样可将原方程化简），则有
所以得转轴公式为
代入原方程化简整理得转轴后的新方程为
配方得
?
再作移轴?
????
曲线方程就化为最简形式??
???
或写成标准方程为
这是一条抛物线．它的顶点是新坐标系O"－x"y"
的原点，原方程的图形可以根据它在坐标系O"－x"y"
中的标准方程作出，如图5.6.1所示．
作图要点：坐标系O－xy旋转角度，成O"－x"y"，再把坐标系O"－x"y"
平移到（，0），
图5.6.4
得
O"－x"y"．在新坐标系O"－x"y"
中可
根据抛物线的标准方程作图．
为了看出曲线在原坐标系中的位置，作图时需要将新旧坐标系同时画出．
例2
?化简二次曲线方程
并画出它的图形．
解?
因
I2＝5
×
2
－
22＝6≠0，所以曲线为中心二次曲线．解方程组
得中心为
(2，1)．取
(2，1)
为新原点，作移轴
原方程变为
??????
???
??
①
这里实际上只需计算F
(2，1)＝－
4，因为移轴时二次项系数不变．
再转轴消去项．令
即???
?
所以??
从而得???
?或?
tana＝－
2
取tana＝1
/
2，可得，用转轴公式
代入?
①，可将方程化简为
标准方程是
这是一个椭圆，它的图形如图5.6.5
图5.6.5
所示．
要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形，必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角．本题中坐标轴的旋转角．
注?
本题转轴时若取tana＝－
2，则可得（旋转角是），所得的转轴公式是
得到的标准方程为
，图形相对于原坐标系的位置不变．此时O"x"轴的正向恰好是图5.6.2中y"
轴的反向．
利用转轴消去二次曲线方程的xy项的几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置．这是因为，如果二次曲线的特征根l确定的主方向为X︰Y，那么有
由此可得平行于主方向的斜率为
∴??????
因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置．如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合．
根据消去二次曲线方程中交叉项的几何意义，我们在化简二次曲线（1）的方程时，也可以先求出曲线的主直径，然后以它作为新坐标轴，作坐标变换．
例3?
化简二次曲线方程
并作出它的图形．
解法1?
I2＝1
×
1
－
?<
0，所给的二次曲线是双曲型的．
令??????????????????????????????????????????
解得中心坐标为
(－
2，2)
．
作坐标平移
就将原方程化为
令???????
得转轴应取的旋转角为
p
/
4．故转轴
图5.6.6
就把二次曲线的方程化简为
即?
这是一条双曲线，其图形如图5.6.3所示．
解法2
I1＝1
＋
1＝2，
I2＝1
×
1
－
于是曲线的特征方程是
解得两特征根为????????????????????
因而曲线的两个主方向为
︰︰︰1
︰︰︰1
曲线的两条主直径为
与??
即???
x
＋
y＝0?
与x
－
y
＋
4＝0
取x
－
y
＋
4＝0为x"
轴，x
＋
y＝0为y"
轴，根据（5.7－7）可取坐标变换公式为
反解出x与y得
代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系下的标准方程为
这是一条双曲线．
在作图时，必须首先确定x"
轴的正向．在变换公式的x"
表达式的右端，x项的系数为y项的系数为把这些系数与公式（5.7－7）比较就知道，因此x"
轴与x轴的交角为，同时从坐标变换公式也可以直接看到新坐标系的原点的旧坐标是
(－
2，2)．当新坐标系确定之后，曲线就可以在新坐标系里按标准方程作出，其图形还是图3－7，可认为移轴和转轴是一次完成的．
两种解法相比，解法1显得简便一些，其计算量小，步骤也比较规范，具有较强的“可操作性”．但解法2强调直接根据主直径得出一般坐标变换公式，在理论上有一定的价值．
无心二次曲线只有一条主直径，若按解法2选其为坐标轴后，另一条坐标轴如何确定呢？我们可以求出这条主直径与二次曲线的交点——二次曲线的顶点，然后取过顶点垂直于已知主直径的直线作为另一条坐标轴，则可写出一般坐标变换公式，进而将二次曲线的方程化简．
例4?
化简二次曲线方程．
解?
由于I1
=
1
＋
1
=
2，I2
=
1
×
1
－
12
=
0，曲线是非中心型的．
解特征方程，得特征根为
l
1
=
2，
l
2
=
0．
曲线的非渐近主方向为对应于l
1
=
2的主方向X︰Y＝1︰1，所以曲线的主直径为
即??
x
＋
y
＋=
0
将此主直径的方程与原曲线的方程联立，即求得曲线的顶点为(3
/
16，－15
/
16)．过顶点且以求得的非渐近主方向为方向的直线为
即???
x
－
y
－=
0
这也是过顶点垂直于主直径的直线．
取主直径为新坐标系的x"
轴，取直线为y"
轴，作坐标变换，则变换公式为
解出x与y得到?????????????????????
代入已知方程，经过整理得，化为标准方程就是
这是一条抛物线．若要画出这条抛物线，必须确定代表x"
轴的直线的正向．设x"
轴与x轴的交角为a，则根据变换公式有，，因此，于是轴的正向就能确定了．新坐标轴作出后，就能在新坐标系下，根据抛物线的标准方程来作出它的图形（图形略）．
例5?
化简二次曲线的方程
．
解?
所给二次曲线的矩阵为
A
=
A的第一行和第二行的元素成比例，这表示F1
(x，y)
=
0和F2
(x，y)
=
0是同一条直线，曲线为线心曲线，它的惟一的一条直径即曲线的中心直线，也就是曲线的主直径，其方程就是F1
(x,
y)
=
0：
x
－
y
＋
1
=
0
取其为新坐标系的x"
轴，再取任意垂直于此中心直线的直线，比如x
＋
y＝0为新坐标系的y"
轴作坐标变换，则变换公式为
解出x与y，得
代入已知方程，经过整理得
即????
=
2
或
y"＝
这是两条平行直线（图5.6.4）．
对于线心曲线，我们可以直接从原方程分解为两个一次因式，从而可立即作出它的图形．如例5的方程可以改写为??????
就是???
?
因此原方程表示两条直线
图5.6.7
x
－
y
＋
3
=
0?
与?
x
－
y
－
1
=
0
它们的图象如图5.6.4所示．
当二次曲线的方程表示两条实直线时，直接分解得到两个一次方程通常是最简单有效的化简方法，因为这样可避免进行坐标变换．除了线心曲线外，中心二次曲线是两条相交直线时，也可对原方程直接分解．
例6?
化简二次曲线方程．
解?
计算得I2
<
0，I3
=
0，可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线，表示两条相交直线．直接将原方程左边分解因式，得
(x
－
y
＋
3)(2x
＋
3y
－
7)
=
0
故原二次曲线的方程表示两条相交直线
x
－
y
＋
3
=
0
和
2x
＋
3y
－
7
=
0
4．二次曲线的简化方程
通过上面的例子，我们可以得出下面的一般结论．
命题5.6.3?
通过适当的坐标变换，二次曲线的方程总可以化成下面三个简化方程中的一个：
（
=
1
\*
ROMAN
I）；
（
=
2
\*
ROMAN
II）；
（
=
3
\*
ROMAN
III）．
证?
二次曲线可分为中心曲线、无心曲线与线心曲线三类，现按这三种情况来讨论．
1°当已知二次曲线为中心曲线时，取它的一对既共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系．设二次曲线在这样的坐标系下的方程为
因为这时原点就是曲线的中心，所以方程中没有一次项，即
其次，二次曲线的两条主直径（即坐标轴）的方向为1︰0与0︰1，它们互相共轭，因此必有．
所以曲线的方程为
（I）
又因为它是中心曲线，所以又有
2°当已知二次曲线为无心曲线时，取它的惟一主直径为x轴，取过顶点（即主直径与曲线的交点）且以非渐近主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为y轴建立坐标系，这时假设曲线的方程为
因为这时主直径的共轭方向为X︰Y＝0︰1，所以主直径的方程为
它就是x轴，即与直线y＝0重合，所以有
又因为顶点与坐标原点重合，所以
(0，0)
满足曲线方程，从而又有a33
=
0．
其次，由于曲线为无心曲线，所以，而所以有．
因而曲线的方程为
（II）
3°当已知二次曲线为线心曲线时，取它的中心直线（即曲线的惟一直径，也是主直径）为x轴，任意垂直于中心直线的直线为y轴建立坐标系，设曲线的方程为
因为线心曲线的中心直线的方程是
与
中的任何一个，而第二个方程表示x轴的条件为
，
但第一个方程在的条件下，不可能再表示x轴，所以它必须是恒等式，因而有，
所以线心曲线的简化方程为：
（III）
命题证毕．
5．二次曲线的分类
根据命题5.6.3中二次曲线的三种简化方程系数的各种不同情况，我们可以写出二次曲线的各种标准方程，从而得出二次曲线的分类．
（I）中心曲线
当时，方程可化为
其中
．
如果A
>
0，B
>
0，那么设
就得方程
[1]???
???
（椭圆）
如果A
<
0，B
<
0，那么设
就得方程
[2]???
??
（虚椭圆）
若A与B异号，不失一般性，可设A＞0，B＜0（在相反情况下，只要把两坐标轴Ox和Oy对调）．设
则得方程
[3]???
???
（双曲线）
当时，如果a11与a22同号，可以假设a11＞0，a22＞0（在相反情况只要在方程两边同乘
－
1），再设
就得方程
[4]???
?
（点椭圆，也可看作相交于实点的二共轭虚直线）
如果a11与a22异号，那么类似地有
[5]??
??
（两相交直线）
（II）无心曲线
不妨设a13与a22异号（同号时令x
=
－
x"，y
=
y"即异号），令，即得
[6]???
??
（抛物线）
（III）线心曲线
，a22≠0
方程可以改写为：
当a33与a22异号时，设，则得方程
[7]???
???（两平行实直线）
若a33与a22同号，设，则得方程
[8]??
???
（两平行共轭虚直线）
当a33＝0时，得方程为
[9]?
?????
（两重合实直线）
于是我们就得到了下面的命题：
命题5.6.4?
通过适当地选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面9种标准方程中的一种形式：
[1]?????
???????
??
（椭圆）；
[2]?????
?????
（虚椭圆）；
[3]?????
??????????
（双曲线）；
[4]?????
???????
（点椭圆，或看成相交于实点的两共轭虚直线）；
[5]?????
???????
（两相交直线）；
[6]?????
???????????
（抛物线）；
[7]?????
?????????????????
（两平行直线）；
[8]?????
???????????
（两平行共轭虚直线）；
[9]?????
???????????????
（两重合直线）．
根据此命题，二次曲线共分为9类．其中，把圆、虚圆和点圆分别归入
[1]、[2]
和
[4]类中
5.7?
应用不变量化简二次曲线的方程
在许多情况下，我们并不需要确定二次曲线在原坐标系下的位置，而只需要确定其形状与类型．应用不变量化简二次曲线的方程就可以简单地做到这一点．同一二次曲线在不同的坐标系下有不同的方程，但是，由方程的系数确定的几何量（如圆锥曲线的焦参数、长短轴、离心率等）却不因坐标系的改变而改变，或者说不因坐标变换而改变，这些量就是不变量．
我们研究的不变量和半不变量是方程的某些系数的函数，它们与这些不变的几何量具有密切的关系．下面给出不变量和半不变量的确切定义．
1．不变量与半不变量
设二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为
???????????
????????????
????????????????????
??????
(1)
设在直角坐标变换T：下，曲线方程（1）的左端变为
那么多项式F
(x"，y"
)
也是二元二次多项式，它的每一个系数都可以用多项式F
(x,
y
)
的系数和坐标变换T的系数表出．
定义5.7.1?
设F
(x，y)
的系数组成一个非常值函数f，如果经过直角坐标变换T，F
(x，y)
变为F
(x"，y"
)
时，有
那么这个函数f叫做二次曲线（1）在直角坐标变换T下的不变量．如果这个函数f的值只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线（1）在直角坐标变换下的半不变量．
命题5.7.1?
二次曲线（1）在直角坐标变换下，有三个不变量I1，I2，I3，与一个半不变量K1：
,
证?
因为直角坐标变换T总可以通过移轴（5.6－1）和转轴（5.6－3）两步完成，因此证明也分移轴与转轴两种情况．
先证明在移轴（5.7－1）下，I1，I2，I3不变，而K1一般要改变．
由于在移轴下，二次曲线（1）的二次项系数不变，所以
，
而????
????
????
????
K1在移轴下一般是要改变的，例如F
(x，y)≡2xy，它的K1＝0，而通过移轴（5.7－1），F
(x，y)
变为，而这时
??
0
故????????????????????
≠K1
现证明在转轴（5.7－3）下，I1，I2，I3与K1都不变．对于I1与I2只要考虑方程的二次项系数就够了，根据（3），在转轴下有：
????????????????????????
??????
???????????????????????
??????
(4)
利用三角函数关系可将（4）化为：
????????????????????????
??????
?????????????????????????????
??????
(5)
故??
???
现证I3在转轴下也不变．因为
＝
而在转轴下，已证得不变，即，且在转轴下二次曲线方程的常数项不变，所以又有，因此
＝
将（3）代入，化简整理得
＝
同理可得
＝－
所以
??
最后证明K1在转轴下也是不变的．因为
K1
而和二次曲线（1）的常数项在转轴下都是不变的，由（3）中和的表达式直接计算可得
所以
命题证毕．
命题5.7.2?
当二次曲线（1）为线心曲线时，K1是直角坐标变换下的不变量．
证?
首先证明当线心曲线的方程具有简化方程
（III）??
时，K1在直角坐标变换下不变．因K1是半不变量，所以只要证明它在移轴下不变即可．
在移轴（5.6－1）下，（III）的左端变为
此时?????????????????
而?????????????????????
故?????????????????????????????????????????????
＝
其次，如果F
(x，y)
=
0经过移轴（5.6－1）变成（III），则反过来（III）经过移轴（5.6－2）就变成F
(x，y)
=
0，所以当线心二次曲线通过移轴其方程能化成（III）时，K1不变．
现设线心二次曲线F
(x，y)
=
0经过任意的直角坐标变换t变成F
(x"，y"
)
=
0，我们来证明K"1＝K1．因为F
(x，y)
=
0为线心二次曲线，因此总存在直角坐标变换把F
(x，y)
=
0变成（III）的左端，因此反过来也一定可以通过直角坐标变换把（III）的左端变成F
(x，y)，再通过坐标变换t把F
(x，y)
变成F"
(x"，y"
)，也就是存在一个直角坐标变换把（III）的左端变成F"
(x"，y"
)．
因此，根据前面已证明的，当通过直角坐标变换t1把F
(x，y)
=
0变成（III）的左端时K1不变，所以有K1＝．
而通过直角坐标变换把（
=
3
\*
ROMAN
III）的左端变为F"
(x"，y"
)
=
0时，又有＝，所以＝K1．
命题证毕．
2．应用不变量化简二次曲线的方程
我们已经证明了，任何一个二次曲线的方程总可以化成三个简化方程（I）、（II）、（III）中的一个．现在我们应用二次曲线的三个不变量I1，I2，I3与一个半不变量K1来化简二次曲线的方程．这种方法的特点是可以不必求出具体的坐标变换公式，只要计算一下这些不变量与半不变量就可以决定二次曲线的简化方程，进而写出它的标准方程．为了方便，仍然分中心曲线、无心曲线与线心曲线三种情况来讨论．
1°中心曲线?
这时I2≠0，它的简化方程为
（I）?????
因此有???????????????????????????????
根据二次方程的根与系数的关系知道，与是特征方程
的两个根，即＝l1，＝l2分别是二次曲线的特征根．
其次又有
而????????????????????
所以???????????????????
这样我们就得到：
命题5.7.3?
如果二次曲线（1）是中心二次曲线，那么它的简化方程为
?????????????????
??????????????????
(5.7－1)
其中l1，l2是二次曲线的特征方程的两个根（方程中的撇号已略去）．
例1?
求二次曲线
的简化方程与标准方程．
解?
因为
，I1
=
1
＋
1
=
2，I2
=
1
×
1
－
32
=
－
8
<
0
故所给的曲线是双曲线．其特征方程为
l2
－
2l
－
8＝0
解得特征根为
l1＝4，l2＝
－
2，所以曲线的简化方程为：
化成标准方程就是
2°无心曲线?
这时I2＝0，I3≠0，它的简化方程为
（II）?
因此有??????????
而??????????????????????????
所以???????????????????
因，故I1
I
3<
0．由此得到
命题5.7.4?
如果二次曲线（1）是无心曲线，那么它的简化方程为
??????????????????
????????????????(5.7－2)
这里根号前的正负号可以任意选取（方程中的撇号已略去）．
例2?
求二次曲线
的简化方程与标准方程．
解?
由题，显然有a≥0，且x和y均非负．
当a
=
0时，原方程表示坐标原点．此时须注意不可将原方程写成再两边平方，因这样会得出原方程表示两条相交实直线的错误结论．
当a
>
0时，原方程可变形为
（x≥0，y≥0）
因有I1
=
2，I2
=
0，，原方程表示仅在第一象限有实图形的一段抛物线，其对称轴是直线y
=
x，顶点是(a
/
4,
a
/
4)，曲线的两个端点的坐标是
(0，a)
和
(a，0)．
简化方程为
标准方程为???????????????????????
???
或??
3°线心曲线?
这时，即，它的简化方程为
（III）?
因此有??????????
而?????????????????????
＝K1
所以?????????
因此有：
命题5.7.5?
如果二次曲线（1）是线心曲线，那么它的简化方程为
?
??????????????(5.7－3)
（方程中的撇号已略去）
从（5.7－1）、（5.7－2）与（5.7－3）可得：
命题5.7.6?
如果给出了二次曲线（1），那么用它的不变量与半不变量来判断已知曲线为何种曲线的条件是：
[1]
椭圆：I2＞0，I1I3＜0；
[2]
虚椭圆：I2＞0，I1I3＞0；
[3]
点椭圆（或称一对交于实点的共轭虚直线）：I2＞0，I3＝0；
[4]
双曲线：I2＜0，I3
≠
0；
[5]
一对相交直线：I2＜0，I3＝0；
[6]
抛物线：I2＝0，I3
≠
0；
[7]
一对平行直线：I2＝I3＝0，K1＜0；
[8]
一对平行的虚直线：I2＝I3＝0，K1＞0；
[9]
一对重合的直线：I2＝I3＝K1＝0
．
这个命题的证明与命题5.8.3的证明十分类似，此处略去．
推论?
二次曲线（1）表示两条直线（实的或虚的，不同的或重合的）的充要条件为I3＝0．
二次曲线的直角坐标变换下的不变量是一个十分重要的概念．解析几何的主要目的是通过曲线的方程来研究曲线的几何性质，而由二次曲线方程的系数所构成的不变量I1，I2，I3以及K1完全可以刻画二次曲线的形状与其他特征．不变量能够深刻地反映方程与曲线的关系，它把我们对数形结合的认识提高到了一个新的高度．
小结
知识点回顾?
这一章，我们从研究直线与二次曲线的相交问题入手，讨论了一般二次曲线的渐方向、中心、渐近线、切线、直径与主直径等重要的概念和他们的性质，也导出了二次曲线按不同的角度进行分类例如，按将近方向的分类和按中心的分类。也讨论二一般二次曲线的代数理论，就是从坐标变换开始介绍了一般二次曲线方程的化简与判别问题。特别的，用二次曲线的主直径作为新做标注来简化二次曲线的方程，使二次曲线的几何理论与代数理论联系在一起，加强了学科间的联系，突出了用代数作为工具研究几何的目的。
同时，在本章提出了二次曲线在直角坐标变换下得“不变量”这一十分重要的概念，有定理5.7.6可知，由二次曲线方程的系数所构成的不变量完全可以刻画二次曲线的形状和大小，不仅深刻反映了方程与曲线的关系，也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识。
通过对本章的学习，应该掌握以下知识点：
1.??????
二次曲线与直线位置关系的讨论，主要转化为一元二次方程
?
根的情况进行讨论；
?2．
二次曲线按照渐近方向和中心从不同的角度进行分类。的方向为渐近方向，按照渐近方向的不同，把二次曲线分为三类：椭圆型曲线、抛物型曲线和双曲型曲线。满足的点为二次曲线的中心，按照中心的不同，又把二次曲线分为中心曲线和非中心曲线，其中，非中心曲线有分为无心曲线和线心曲线；
3.
二次曲线的直径与方向，这是本章的难点，比较抽象。在学习的过程中，要认真掌握直径、共轭方向、共轭直径、主直径和主方向的概念，为二次曲线的分类和方程的化简奠定基础；
4.
二次曲线方程的化简与分类。通过坐标变换可以把二次曲线的方程化简，把任意一个二次曲线的方程化简为9个简单形式之一。同时，也可以构造二次曲线的不变量，作对对二次曲线的进一步研究
典型例题
例1?
?试确定的值，使得与二次曲线交于
??
⑴
两个不同的实点；?
⑵
一个不实点；
?
⑶
两个共轭虚点。
解：把直线方程带入二次曲线方程可得：
?
?
所以，当时，有两个不同的实点；
?????
当时，有两个不同的实点；
?????
当时，有两个不同的实点；
例2?
当满足什么条件时，二次曲线
（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.
解：（1）由知，当时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；
（2）当时方程无解，此时曲线没有中心；
（3）当时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.
例3?
试证如果二次曲线
有渐进线，那么它的两个渐进线方程是
Φ=
式中为二次曲线的中心.
证明：
设为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为，
所以Φ=.
例4?????????
证明以直线为渐进线的二次曲线方程总能写成
.
证明：
设以为渐进线的二次曲线为
，
则它的渐进线为Φ=，其中为曲线的中心，从而有Φ=
而Φ=
因为为曲线的中心，所以有，
因此Φ，
令，代入上式得
即，所以以为渐进线的二次曲线可写为.
例5?????????
设有共焦点的曲线族，这里是一个变动的参数，作平行于已知直线的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程.
解：设切点坐标为，则由（5.3-4）得曲线的切线为，因为它平行与，所以有，代入整理得
，
所以切点的轨迹为
例6?????????
证明二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.
证明：设分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主方向分别为与则
与，
所以??????????????
从而有，
因为，所以，由此两主方向与相互垂直.
例7
试证方程
确定一个实圆必须且只须.
证明：当曲线
表示一个实圆的充要条件是其特征方程
有相等实根且，即且，从而方程确定一个实圆必须且只须.
?
?
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