2019届高三数学3月一模试卷 本文简介：
2019届高三数学3月一模试卷（理科带答案）数学（理）?本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题?共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.?
2019届高三数学3月一模试卷 本文内容：
2019届高三数学3月一模试卷（理科带答案）
数
学（理）
?本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题?共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1.?
已知集合
，
，则下列关系中正确的是??
?A.
P＝Q??
???
?B.
P
Q
C.
Q
P
D.
?2.??
?设
是虚数单位，若复数
，则复数
的模为??
?A.
?
B.
?
C.
?
D.
?3.??
?某几何体的三视图如右图所示，该几何??
???
?体的体积为??
?
??
?A.
2??
?
??
?B.
6??
???
?
??
?C.
10??
???
?
??
?D.
24??
???
?
4.??
?九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智
??
?游戏．在某种玩法中，用
表示解下
个圆环所需的移动最少次数，
满足
，且??????????
，则解下
个圆环所需的最少移动次数为
??
?A.
?
B.
?
C.
?
D.
?5.??
?中国南宋时期的数学家秦九韶提出了??
???
?一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的
，依次输入的
为1，2，3，运行程序，输出的
的值为??
?A.
?
??
?
??
?B.
?
??
?
??
?C.
?
??
?
??
?D.
?
??
???
???
???
???
?
6.??
?已知平面向量
，则
是
与
同向的??
?A.
充分不必要条件??
?B.
必要不充分条件
??
?C.
充要条件??
?D.
既不充分也不必要条件
7.??
?若
，则下列各式中一定正确的是??
?A.
?
B.
?
C.
?
D.
?8.??
?已知函数
的一条对称轴为
，
，??
?且函数
在
上具有单调性，则
的最小值为??
?A.
?
B.
?
C.
?
D.
?
?
第二部分（非
选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9.??
?若变量
满足约束条件
则
的最小值为_________．10.??
?等比数列
的首项
，
，则其前
项和
_______．?11.??
?在极坐标系中，直线
与圆
的位置关系为______．（填“相交”、?
??
?“相切”或“相离”）
12.??
?若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面
积的值可能是
??
?______．（只需写出一个可能的值）
13.??
?过双曲线
的一个焦点
作其渐近线的平行线
，直线
与y轴交于点P，
??
?若线段OP的中点为双曲线的虚轴端点（O为坐标原点），则双曲线的离心率为____．
?14.??
?在直角坐标系
中，点
和点
，设集合
，??
?且
，
，则
；点
,?
到
轴距离之和的最小值为???????????
．
?
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.
（本小题13分）
在
中，角
的对边分别为
，
，
，
．
（
Ⅰ）求
的值；?
（Ⅱ）求
的面积．16.
（本小题13分）
某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．
（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；
（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为
，求
的分布列；
（
Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．
?
17.
（本小题14分）
如图，在四棱锥
中，平面
平面
，且四边形
为矩形，
，
，
，
分别为
的中点，
在线段
上（不包括端点）．
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（Ⅲ）是否存在点
，使得二面角
的大小为
？若存在，求
；
若不存在，说明理由．
18.（本小题13分）
设函数
，
．
（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线与
轴平行，求
；
（Ⅱ）当
时，函数
的图象恒在
轴上方，求
的最大值．19．（本小题满分14分）
已知椭圆
的离心率为
，右焦点为
，左顶点为
，右顶点
在直线
:
上．
（
Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设点
是椭圆
上异于
，
的点，直线
交直线
于点
，当点
运动时，判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明．20.（本小题13分）
若项数为
的单调递增数列
满足：
①
；
②对任意
（
，
），存在
（
，
）使得
，则称数列
具有性质
.
（Ⅰ）分别判断数列
和
是否具有性质
，并说明理由；
（Ⅱ）若数列
具有性质
，且
，
（ⅰ）
证明数列
的项数
；
（ⅱ）求数列
中所有项的和的最小值．
?
2019年石景山区高三统一测试
数学（理）试卷答案及评分参考
一、
选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．?
题号??
?1??
?2??
?3??
?4??
?5??
?6??
?7??
?8
答案??
?C??
?B??
?B??
?A??
?D??
?C??
?A??
?C
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．?
9．
；??????????
10．
；????????
11．相交；???
?
12．
或??
或
；????
13．?
；?????
14．
，
．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
解：(Ⅰ)在
中，
，
??????
∴
，???????????????????
?
∵
，
，
由正弦定理
得
，?????????????????
?
∴
．???????????????????????????????????????????
?
(
Ⅱ)由余弦定理
得
，?
∴
，
解得
或
（舍）????????????????????????????????
?
∴?????????????????????????????????????
?
?．?????????????????????????
?
16．（本小题13分）
解：(Ⅰ)设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A．?
?
则
．???????????????????????????????????????
?
(Ⅱ)
可能取0，1，2，3，4．?????????????????????????????????
?
?，
，
?，
，
?．??????????????????????????
?
所以
的分布列为
?
0??
?1??
?2??
?3??
?4
P??
??
?
?
?
??????????????????????????????????????????????????????????????
?
（
Ⅲ）75．???????????????????????????????????????????????????
?
17．（本小题14分）
（Ⅰ）证明：在矩形
中，
∥?
，?????????????????????????
?
∵
分别为
的中点，
∴
∥
，且?
，???????????????????????????
?
∴
∥
，????????????????????????????????????????????
?
∵
平面
，
平面
，
∴
∥平面
．????????????????????????????????????????
?
（Ⅱ）证明：在矩形
中，
，
∵矩形
平面
，且平面
平面
，
∴
平面
，????????????????????????????????????????
?
又
平面
，
∴?
，??????????????????????????????????????????????
?
∵
，
为
的中点，
∴?
，
又
，
∴
平面
，????????????????????????????????????????
?
∵
平面
，∴平面
平面
．???????????????????????????????????
?
（Ⅲ）在平面
内作
的垂线，如图建立
空间直角坐标系
，
∵
，
，
，
∴
，
，
，
?，
，
，?????????????
?
设
，∴
，
∴
，???????????????????????????????????????
?
∴
，
，????????????????????
?
设平面
的法向量为
，
∴
即???????????????????????
?
令
，则
，
∴
是平面
的一个法向量，???????????????
?
∵
平面
，
∴平面
的法向量为
，?????????????????????
?
∵二面角
的大小?
∴
，解得
，?????
?
∵
在
上，∴
．???????????????????????????????????
?
18．（本小题13分）
解：（Ⅰ）?
?，???????????????????????????????????
?
?，??????????????????????????????????????
?
由题设知
，即
，解得
．????????????
?
经验证
满足题意。
（
Ⅱ）方法一：????
?
令
，即
，则???????????????????????
?
（1）当
时，即?
对于任意
有
，
故
在
单调递减；??????????????????????????
?
对于任意
有
，
故
在
单调递增，?????????????????????????????
?
因此当
时，
有最小值为
成立．
（2）当
时，即?
对于任意
有
，
故
在
单调递减，????????????????????????????
?
因为
，所以
，即
，??????????
?
综上，
的最大值为
．???????????????????????????????
?
方法二：由题设知，当
时，
,????????????????
?
（1）当
时，
．???????????????????????????
?
设
，
则
，??????????????
?
故
在
单调递减，???????????????????????????
?
因此，
的最小值大于
，所以
．??
?
（2）当
时，
成立．???????????????????????
?
（3）当
时，
，因为
，?????????????
?
所以当
时，
成立．?????????????????
?
综上，
的最大值为
．??????????????????????????
?
19．
（本小题14分）
解：（
Ⅰ）依题可知
，??????????????????????????????????
?
???????
因为?
，
所以???????????????????????????????????????????
?
故椭圆
的方程为
．????????????????????????????
?
（Ⅱ）以
为直径的圆与直线
相切．????????????????????????
?
证明如下：由题意可设直线
的方程为
．
则点
坐标为
，
中点
的坐标为
，????????????
?
由
得
?．??????????????????????????
?
设点
的坐标为
，则
．
所以
，
．?????????????
?
因为点
坐标为
，
①??
?当
时，点
的坐标为
，直线
的方程为
，
点
的坐标?
为
．
此时以
为直径的圆
与直线
相切．?
?
②??
?当
时，直线
的斜率
．
所以直线
的方程为
,即
．
?
故点
到直线
的距离
???????????
?
（或直线
的方程为
,
故点
到直线
的距离
?
）
又因为?
，故以
为直径的圆与直线
相切．
综上得，当点
运动时，以
为直径的圆与直线
相切．?
?
解法二:
（Ⅱ）以
为直径的圆与直线
相切．????????????????????????????
?
证明如下:
设点
,则?
①??
?当
时,点
的坐标为
，直线
的方程为
，???????????
?
点
的坐标为
，????????????????????????????????????
?
此时以
为直径的圆
与直线
相切，????
?
②??
?当
时直线
的方程为
，?????????????
?
点D的坐标为
,
中点
的坐标为
,故?????????????????????????????????????????????
?
直线
的斜率为
,??????????????????????
?
故直线
的方程为
,即
,?????????????????????????????????????????
?
所以点
到直线
的距离????????????????????
?
故以
为直径的圆与直线
相切．
综上得，当点
运动时，以
为直径的圆与直线
相切．???
?20．（本题13分）
解：（
Ⅰ）因为?
，
所以?
不具有性质?
；
?????
因为
，?
，??
，所以?
具有性质
．
?
（Ⅱ）
（ⅰ）因为
是单调递增数列，又
，?
?????
所以?
即
，
?????
所以
，
??????
，所以
，
，
，
，
，?
?????
又因为
，所以
．?????????????????????????????????
?
（ⅱ）因为
，
，
，
，
；
所以可以
构造数列
满足性质
；
或
，
，
，
，
，?
所以可以构造数列
满足性质
；
上述两个数列的和为
，下面说明
为数列
中所有项的和的最小值．
若
在数列
中，要求数列
中所有项的和的最小值，则
，?
若
不在数列
中，则?
，由（ⅰ）知
，??
?
则数列
中所有项的和
，
所以要求数列
中所有项的和的最小值，则
．
同理要求数列
中所有项的和的最小值，则
，
?，同理可得
或
；
依此类推要求数列
中所有项的和的最小值，其数列为
或
?
所以数列
中所有项的和的最小值为
．?????????????????
?【若有不同解法，请酌情给分】
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