2019版高考数学二轮复习小题专项训练 本文简介：
2019版高考数学二轮复习小题专项训练【与】2019版高考数学二轮复习分专题限时提速训练2019版高考数学二轮复习小题专项训练高考小题专练(01)(满分：80分 时间：45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合S＝{
2019版高考数学二轮复习小题专项训练 本文内容：
2019版高考数学二轮复习小题专项训练【与】2019版高考数学二轮复习分专题限时提速训练2019版高考数学二轮复习小题专项训练
高考小题专练(01)
(满分：80分 时间：45分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝( )
A．(－∞，1]??
?B．(－∞，－4]
C．(－2,1]
??
?D．[1，＋∞)
解析：选A 因为S＝{x|x＞－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}，
又因为T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}，
∴(?RS)∪T＝{x|x≤1}＝(－∞，1]，故选A．
2．已知a∈R，i是虚数单位，复数z的共轭复数为z－，若z＝a＋3i，z?z－＝4则a＝( )
A．3
??
?B．－3
C．7或－7
??
?D．1或－1
解析：选D 由z＝a＋3i?z－＝a－3i?z?z－＝4，可得a2＋3＝4，
∴a＝±1，故选D．
3．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为( )
?
A．0
??
?B．1
C．2
??
?D．3
解析：选C 第一次N＝24，能被3整除，
N＝243＝8≤3不成立，第二次N＝8,8不能被3整除，N＝8－1＝7，N＝7≤3不成立，第三次N＝7，不能被3整除，N＝7－1＝6≤3不成立，第四次N＝63＝2≤3成立，输出N＝2，故选C．
4．设a，b为向量，则“|a?b|＝|a||b|”是“a
∥b”的( )
A．充分不必要条件
??
?B．必要不充分条件
C．充分必要条件
??
?D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由|a||b||cos
〈a，b〉|＝|a||b|，得cos
〈a，b〉＝±1，即〈a，b〉＝0或π，∴a∥b,
由a∥b，得向量a与b同向或反向，∴〈a，b〉＝0或π，∴|a?b|＝|a||b|，“|a?b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件，故选C．
5．函数y＝sin
x(1＋cos
2x)在区间[－2,2]内的图象大致为( )
?
解析：选B 函数y＝sin
x(1＋cos
2x)定义域为[－2,2]，其关于原点对称，且f(－x)＝sin(－x)(1＋cos
2x)＝－sin
x?(1＋cos
2x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，又图象关于原点对称，排除D；当0＜x＜1时，y＝sin
x(1＋cos
2x)＝2sin
xcos2x＞0，排除C；又2sin
xcos2x＝0，可得x＝±π2或0，排除A，故选B．
6．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示.
如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体的体积是( )
?
A．643
??
?B．323?
C．16
??
?D．32
解析：选B 由三视图还原的几何体如图所示，该几何体为三棱锥，侧面PAC为等腰三角形，且平面PAC
⊥平面ABC，PA＝PC，底面ABC为直角三角形，AB＝AC＝4，棱锥的高为4，∴该四面体的体积V＝13×12×4×4×4＝323，故选B．
?
7．观察下图：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
则第________行的各数之和等于2
0172.( )
A．2
010
??
?B．2
018
C．1
005
??
?D．1
009
解析：选D 由图形知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72，…，
∴第n行各数之和为(2n－1)2，令(2n－1)2＝2
0172?2n－1＝2
017，解得n＝1
009，故选D．
8．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于( )
A．4π
??
?B．3π
C．2π
??
?D．π
解析：选A 由题意得，因为SA⊥平面ABC，AB⊥BC，所以四面体S?ABC的外接球半径等于以长宽高分别为SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径，又因为SA＝AB＝1，BC＝2，所以2R＝SA2＋AB2＋BC2＝2?R＝1，所以球的表面积为S＝4πR2＝4π，故选A．
9．如图所示，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB＝2，若点A从(3，0)移动到(2，0)，则AB的中点D经过的路程为( )
?
A．π3
??
?B．π4?
C．π6
??
?D．π12
解析：选D 设AB的中点D(x，y)，∵∠AOB＝90°，∴OD＝1，∴x2＋y2＝1，当点A从(3，0)移动到(2，0)时，x从32变到22，∴圆心角变化π4－π6＝π12，∴D经过的路程为π12×1＝π12，故选D．
10．设集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|(y－x)(y＋x)≤0}，M＝A∩B，若动点P(x，y)
∈M，则x2＋(y－1)2的取值范围是( )
A．12，102
??
?B．22，102
C．12，52
??
?D．22，52
解析：选C 在同一直角坐标系中画出集合A，B所在区域，取交集后可得M所表示的区域如图中阴影部分所示，
而d＝x2＋?y－1?2表示的是M中的点到(0,1)的距离，由图可知，(0,1)到直线y＝x的距离最小，为22；(0,1)到12，－12的距离最大，为14＋94＝52，所以x2＋(y－1)2范围是12，52，故选C．
?
11．已知函数f(x)＝－x2－2x＋1，－2≤x＜0，ex，x≥0若函数g(x)＝f(x)－ax＋a存在零点，则实数a的取值范围为( )
A．－13，e2
??
?B．－∞，－13∪[e2，＋∞)
C．－13，1e
??
?D．－∞，－13∪[e，＋∞)
解析：选B 函数g(x)＝f(x)－ax＋a存在零点，即方程f(x)＝ax－a存在实数根，即函数y＝f(x)与y＝a(x－1)的图象有交点，如图所示，直线y＝a(x－1)恒过定点(1,0)，过点(－2,1)与(1,0)的直线的斜率k＝1－0－2－1＝－13，设直线y＝a(x－1)与y＝ex相切于(x0，ex0)，则切点处的导数值为ex0，则过切点的直线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，又切线过(1,0)，则－ex0＝ex0(1－x0)，∴x0ex0＝2ex0，得x0＝2，此时切线的斜率为e2，由图可知，要使函数g(x)＝f(x)－ax＋a存在零点，则实数a的取值范围是a≤－13或a≥e2，故选B．
?
12．点P在直线l：y＝x－1上，若存在过P的直线交抛物线y＝x2于A，B两点，且|PA|＝2|AB|，则称点P为“δ点”．下列结论中正确的是( )
A．直线l上的所有点都是“δ点”
B．直线l上仅有有限个点是“δ点”
C．直线l上的所有点都不是“δ点”
D．直线l上有无穷多个点(不是所有的点)是“δ点”
解析：选A 如图所示，设A(m，n)，B(xB，yB)，P(x，x－1)，因为|PA|＝2|AB|，直线l：y＝x－1与抛物线y＝x2相离，
所以PA→＝2AB→，(m－x，n－x＋1)＝2(xB－m，yB－n)，
可得B12?3m－x?，12?3n－x＋1?，A，B在y＝x2上，所以n＝m2，12?3n－x＋1?＝12?3m－x?2，消去n，整理得，关于x的方程x2＋(2－6m)x＋3m2－2＝0，
∵Δ＝24m2－24m＋12＞0恒成立，∴方程恒有实数解，点P在直线l：y＝x－1上，总存在过P的直线交抛物线y＝x2于A，B两点，且|PA|＝2|AB|，所以，直线l上的所有点都是“δ点”，故选A．
?
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y^＝b^x＋a^已知i＝110xi＝225，i＝110yi＝1
600，b^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为________．
解析：由i＝110xi＝225，i＝110yi＝1
600，利用平均值公式求得x－＝22.5，y－＝160，因为b^＝4，
∴a^＝160－4×22.5＝70，从而当x＝24时，y＝4×24＋70＝166，故答案为166．
答案：166
14．从区间[0,2]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为________．
解析：利用几何概型，可得四分之一圆形的面积和正方形的面积比为S圆S正方形＝14π?124＝mn，∴π＝16mn，故答案为16mn．
答案：16mn
15．如图所示，B地在A地的正东方向4
km处，C地在B地的北偏东30°方向2
km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2
km.现要在曲线PQ上任一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B和M到C修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是________万元．
?
解析：以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，C(3，3)，由|MA|－|MB|＝2知点M的轨迹，
即曲线PQ的方程为x2－y23＝1(x＞0)，∴|MB|＋|MC|＝|MA|－2＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝27－2，∴修建这两条公路的总费用最低是(27－2)a万元，故答案为(27－2)a．
答案：(27－2)a
16．已知数列{an}满足a1＝3，(3－an＋1)(6＋an)＝18(n∈N*)，则i＝1n
1ai的值是________．
解析：设bn＝1an，n＝1,2，…，
则3－1bn＋16＋1bn＝18，即3bn＋1－6bn－1＝0，
∴bn＋1＝2bn＋13，bn＋1＋13＝2bn＋13，
故数列bn＋13是公比为2的等比数列，
则bn＋13＝2n－1b1＋13＝2n－11a1＋13＝13?2n，
∴bn＝13(2n－1)，
i＝1n
1ai＝i＝1nbi＝i＝1n
13(2n－1)＝132?2n－1?2－1－n＝13(2n＋1－n－2)，故答案为13(2n＋1－n－2)．
答案：13(2n＋1－n－2)
2019版高考数学二轮复习分专题限时提速训练限时检测提速练(三) 小题考法——三角函数的图象与性质
1．为了得到函数y＝sin5π6－x的图象，可以将函数y＝sin
x的图象( )
A．向左平移π6个单位长度??
?B．向右平移π3个单位长度
C．向右平移π6个单位长度
??
?D．
向左平移π3个单位长度
解析：选A 函数y＝sin5π6－x＝－sin－5π6＋x＝sinx＋π6，将函数y＝sin
x的图象向左平移π6个单位长度即可．故答案为A．
2．(2018?邯郸一模)若仅存在一个实数t∈0，π2，使得曲线C：y＝sinωx－π6(ω＞0)关于直线x＝t对称，则ω的取值范围是( )
A．13，73
??
?B．43，103
C．13，73
??
?D．43，103
解析：选D ∵x∈0，π2，∴ωx－π6∈－π6，ωπ2－π6．
∴π2＜ωπ2－π6≤3π2.∴43＜ω≤103，选D．
3．(2018?孝感联考)已知函数f(x)＝3sin2x＋π3，下列函数中，最小正周期为π的偶函数为( )
A．fx＋π12
??
?B．f12x－π6
C．f2x＋π3
??
?D．fx＋π3
解析：选A A．fx＋π12＝3sin2x＋π2＝3cos
2x，最小正周期是π，并且是偶函数，满足条件；B．f12x－π6＝3sin
x，函数的最小正周期是2π，且是奇函数，不满足条件；C．f2x＋π3＝3sin(4x＋π)＝－4sin
4x，最小正周期是π2，且是奇函数，不满足条件；
D．fx＋π3＝3sin(2x＋π)＝3sin
2x是奇函数，故选A．
4．(2018?三湘教育联盟联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象如图所示，则( )
?
A．f(x)在－π3，π13上是增函数??
?B．f(x)在－π2，π13上是增函数
C．f(x)在2π3，7π6上是增函数??
?D．f(x)在－π2，π12上是增函数
解析：选A 由图知，A＝1，T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝2πω＝π，
∴ω＝2，又2×π3＋φ＝kπ(k∈Z)，0＜φ＜π，
∴φ＝π3，则f(x)＝sin2x＋π3，由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z.所以f(x)在－5π12＋kπ，π12＋kπ，k∈Z上是增函数，观察选项知A正确.
故选A．
5．(2018?三湘教育联盟联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(0＜φ＜π)的图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，且将函数f(x)的图象向右平移π4个单位得到的函数为奇函数，则函数f(x)的一个递增区间为( )
A．－π2，0
??
?B．－π4，π4
C．0，π2
??
?D．π4，3π4
解析：选A 由题意得T＝π，
∴ω＝2πT＝2．
∴φ－2×π4＝kπ(k∈Z)．∴φ＝π2＋kπ(k∈Z)．
∵0＜φ＜π，∴φ＝π2．
因此f(x)＝2sin2x＋π2＝2cos
2x，
即－π2，0为函数f(x)的一个递增区间，选A．
6．(2018?江门一模)将函数f(x)＝3sinπx＋π2图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递减区间是( )
A．[2kπ－1,2kπ＋2](k∈Z)??
?B．[2kπ＋1,2kπ＋3](k∈Z)
C．[4kπ＋1,4kπ＋3](k∈Z)??
?D．[4kπ＋2,4kπ＋4](k∈Z)
解析：选C 将函数f(x)＝3sinπx＋π2图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的解析式为y＝3sinπ×x2＋π2＝3sinπx2＋π2；再把图象上所有的点向右平移1个单位，所得图象对应的解析式为y＝3sinπ2?x－1?＋π2＝3sin
π2x，故g(x)＝3sin
π2x.由π2＋2kπ≤π2x≤3π2＋2kπ，k
∈Z，得1＋4kπ≤x≤3＋4kπ，k∈Z，故函数的单调递减区间为[1＋4kπ，3＋4kπ]，k∈Z.选C．
7．(2018?衡阳联考)已知A、B、C、D是函数y＝sin(ωx＋φ)ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点．如图所示，A－π6，0，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，?
CD→在x轴上的投影为π12，则( )
?
A．ω＝2，φ＝π3
??
?B．ω＝2，φ＝π6
C．ω＝12，φ＝π3
??
?D．ω＝12，φ＝π6
解析：选A 由题意可知T4＝π6＋π12＝π4，∴T＝π，ω＝2ππ＝2．
又sin2×－π6＋φ＝0,
0＜φ＜π2，∴φ＝π3，故选A．
8．(2018?滁州二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y＝f(x)的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f(x)的图象( )
A．关于点π12，0对称
??
?B．
关于点－π12，0对称
C．关于直线x＝π12对称
??
?D．关于直线x＝－π12对称
解析：选A 由题意得T2＝π2，∴T＝π，ω＝2πT＝2，因为函数y＝f(x)的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y轴对称，所以y＝sin2x＋2π3＋φ关于y轴对称，即2π3＋φ＝π2＋kπ(k
∈Z)
，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π6，
所以f(x)＝sin2x－π6关于点π12，0对称，选A．
9．(2018?宿州二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移π6个单位，所得到的函数g(x)的解析式为( )
?
A．g(x)＝2sin
14x
??
?B．g(x)＝2sin
2x
C．g(x)＝2sin14x－π6
??
?D．g(x)＝2sin2x－π6
解析：选D 由图象可得A＝2，T4＝π，
故T＝4π，ω＝12，∴f(x)＝2sin12x＋φ，
∵点(0,1)在函数的图象上，
∴f(0)＝2sin
φ＝1，∴sin
φ＝12，
又0＜φ＜π2，∴φ＝π6．
∴f(x)＝2sin12x＋π6．
将函数f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14所得图象对应的解析式为
y＝2sin12×4x＋π6＝2sin2x＋π6，
然后再向右平移π6个单位，所得图象对应的解析式为
y＝2sin2x－π6＋π6＝2sin2x－π6，
即g(x)＝2sin2x－π6.选D．
10．(2018?河南联考)已知函数f(x)＝sin
ωx－3cos
ωx(ω＞0)，若集合{x
∈(0，π)|f(x)＝－1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是( )
A．32，52
??
?B．32，52
C．72，256
??
?D．72，256
解析：选D 由题得f(x)＝2sinωx－π3，
∵2sinωx－π3＝－1，∴sinωx－π3＝－12．
解得ωx－π3＝－π6＋2kπ或7π6＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝π6ω＋2kπω或x＝3π2ω＋2kπω(k∈Z)，
设直线y＝－1与y＝f(x)在(0，＋∞)上从左到右的第四个交点为A，第五个交点为B，
则xA＝3π2ω＋2πω(此时k＝1)，xB＝π6ω＋4πω(此时k＝2)．
由于方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则xA＜π≤xB，即3π2ω＋2πω＜π≤π6ω＋4πω，解得72＜ω≤256，故选D．
11．(2018?芜湖二模)函数f(x)＝sin
xcos
x＋32cos
2x的最小正周期是____．
解析：f(x)＝sin
xcos
x＋32cos
2x＝12sin
2x＋32cos
2x＝sin2x＋π3，所以最小正周期T＝2π2＝π．
答案：π
12．(2018?江西联考)若点(θ，0)是函数f(x)＝sin
x＋2cos
x的一个对称中心，则cos
2θ＋sin
θcos
θ＝____．
解析：
∵点(θ，0)是函数f(x)＝sin
x＋2cos
x的一个对称中心，
∴sin
θ＋2cos
θ＝0，即tan
θ＝－2．
∴cos
2θ＋sin
θcos
θ＝cos2θ－sin2θ＋sin
θcos
θsin2θ＋cos2
θ＝1－tan2θ＋tan
θtan2θ＋1＝1－4－24＋1＝－1．
答案：－1
13．已知函数f(x)＝5sin
x－12cos
x，当x＝x0时，f(x)有最大值13，则cos
x0＝____．
解析：方法一 f(x)＝13513sin
x－1213cos
x，
令cos
φ＝513，sin
φ＝1213，
故f(x)＝13sin(x－φ)，当x－φ＝π2＋2kπ，k∈Z也就是x＝φ＋π2＋2kπ，k∈Z
时，f(x)max＝13，此时x0＝φ＋π2＋2kπ，k∈Z，
所以cos
x0＝cosφ＋π2
＝－sin
φ＝－1213．
方法二 f(x)在R可导，f′(x)＝5cos
x＋12sin
x．
因f(x)在x＝x0处有最大值，
故而f′(x0)＝0，即5cos
x0＋12sin
x0＝0，结合sin2
x0＋cos2
x0＝1可以得到sin
x0＝513，cos
x0＝－1213或sin
x0＝－513，cos
x0＝1213
当sin
x0＝513，cos
x0＝－1213时，f(x0)＝13；
当sin
x0＝－513，cos
x0＝1213时，f(x0)＝－13(舍)，
所以f(x0)＝13时，cos
x0＝－1213．
答案：－1213
14．(2018?湖北联考)若函数f(x)＝kx－cos
x在区间π6，π3
单调递增，
则k的取值范围是____．
解析：f′(x)＝k＋sin
x，因为f(x)在π6，π3
上单调递增，所以f′(x)≥0在π6，π3
上恒成立，也即是f′(x)min≥0，故k＋sin
π6≥0，k≥－12．
答案：－12，＋∞
15．(2018?枣庄一模)已知f(x)＝sin
ωx－cos
ωxω＞23，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2π，3π)，则ω的取值范围是____．(结果用区间表示)
解析：由题意，函数f(x)＝sin
ωx－cos
ωx＝2sinωx－π4，ω＞23，由f(x)的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(2π，3π)，则T2＝πω≥3π－2π＝π，解得ω≤1，即23＜ω≤1,
函数f(x)＝2sinωx－π4
的对称轴的方程为ωx－π4＝π2＋kπ.k
∈Z，即x＝3π4ω＋kπω，k∈Z，则3π4ω＋πω≤2π，3π4ω＋2πω≥3π解得78≤ω≤1112，
所以实数ω的取值范围是78，1112．
答案：78，1112
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