2020版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语练习（理科共3套）共六章 本文简介：
2020版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语练习（理科共3套）共六章第1章集合与常用逻辑用语第1讲A组 基础关1．设集合P＝{x|0≤x≤2}，m＝3，则下列关系中正确的是( )A．m?P?B．m?P?C．m∈P?D．m?P答案 D解析 ∵3>2，∴m?P.2．设全集U＝{1,2,3,4,5
2020版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语练习（理科共3套）共六章 本文内容：
2020版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语练习（理科共3套）共六章第1章
集合与常用逻辑用语
第1讲
A组 基础关
1．设集合P＝{x|0≤x≤2}，m＝3，则下列关系中正确的是( )
A．m?P?
B．m?P?
C．m∈P?
D．m?P
答案 D
解析 ∵3>2，∴m?P.
2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,4}，N＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N
???
?B．M∩N
C．(?UM)∪(?UN)
???
?D．(?UM)∩(?UN)
答案 D
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,4}，N＝{2,3}，
∴?UM＝{2,3,5,6}，?UN＝{1,4,5,6}，
∴(?UM)∩(?UN)＝{5,6}．
3．(2018?河南洛阳三模)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B?A，则实数m的值是( )
A．0
???
?B．2
C．0或2
???
?D．0或1或2
答案 C
解析
∵{1，m}?{0,1,2}，∴m＝0或2.
4．(2018?甘肃张掖三模)已知集合A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|ex<1}，则集合A∩B的元素的个数为( )
A．1?
B．2?
C．3?
D．4
答案 B
解析 ∵B＝{x|ex<1}＝{x|x<0}，∴A∩B＝{－1，－2}，有2个元素．
5．(2018?天津高考)设全集为R，集合A＝{x|0
A．{x|0???
?B．{x|0C．{x|1≤x<2}
???
?D．{x|0答案 B
解析 因为集合B＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x<1}，所以A∩(?RB)＝{x|06．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M?(A∩B)的集合M的个数是( )
A．0?
B．1?
C．2?
D．3
答案 C
解析 由x＋y＝1，x－y＝3，得x＝2，y＝－1，∴A∩B＝{(2，－1)}．
由M?(A∩B)，知M＝?或M＝{(2，－1)}．
7．(2017?全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3}?
B．{1,0}?
C．{1,3}?
D．{1,5}
答案 C
解析
∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
8．已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2,2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝________.
答案 0或14
解析 因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则a＝2a，b＝b2或a＝b2，b＝2a，解得a＝0或a＝14，所以a的值为0或14.
9．设A，B是非空集合，定义A?B＝{x|x∈(A∪B)且x?(A∩B)}．已知集合A＝{x|0答案 {0}∪[2，＋∞)
解析 由已知A＝{x|010．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝ex，x3}，则A∪B＝________.
答案 (－1,3)
解析 由x2－x－2<0得－1∴A＝{x|－1∵y＝ex在(－∞，ln
3)上为增函数，
∴当x3时，y＝ex3＝3，∴B＝{y|0∴A∪B＝(－1,3)．
B组 能力关
1．(2018?河北邯郸一模)设全集U＝(－3，＋∞)，集合A＝{x|1<4－x2≤2}，则?UA＝( )
A．(－3，2)∪[3，＋∞)
B．(－2，2)∪[3，＋∞)
C．(－3，2]∪(3，＋∞)
D．[－2，2]∪(3，＋∞)
答案 B
解析 由4－x2>1，4－x2≤2，得－32，
A＝{x|－3又∵U＝(－3，＋∞)，
∴?UA＝(－2，2)∪[3，＋∞)．
2．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是( )
?
A．[0,1]
B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
C．[－1,2]
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cosx，x
∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示?U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
3．(2018?合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝x∈R12a≤x≤2a－1，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
???
?B.12，1
C.23，＋∞
???
?D．(1，＋∞)
答案 A
解析 因为A∩B≠?，所以2a－1≥1，2a－1≥12a，解得a≥1.
4．若x∈A，则1x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )
A．15?
B．16?
C．28?
D．25
答案 A
解析 由题意得，满足题意的伙伴关系的集合由以下元素构成：－1，1，12，2，13，3，其中12和2，13和3必须同时出现．所以具有伙伴关系的集合的个数为24－1＝15.
5．设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤－1或a＝1
解析 ∵A∩B＝B，∴B?A.
又∵A＝{0，－4}，
∴B的可能情况有?，{－4}，{0}，{－4,0}．
(1)若B＝?，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1.
(2)若B＝{－4}，则a
∈?.
(3)若B＝{0}，则a＝－1.
(4)若B＝{－4,0}，则a＝1.
综上知，a≤－1或a＝1.
6．(2019?重庆八中月考)定义集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A且a－b∈A，则称集合A为闭集合．给出如下三个结构：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合B＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．
答案 ②
解析 ①中，－4＋(－2)＝－6不属于A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈B，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈B，n1－n2∈B，所以②正确；对于③，令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用练习（理科共14套）第2章
函数、导数及其应用
第1讲A组 基础关
1．下列各组函数中不表示同一函数的是( )
A．f(x)＝lg
x2，g(x)＝2lg
|x|
B．f(x)＝x，g(x)＝3x3
C．f(x)＝x2－4，g(x)＝x＋2?x－2
D．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝x＋1，x≥－1，－x－1，x<－1
答案 C
解析 选项A中，g(x)＝2lg
|x|＝lg
x2，则f(x)与g(x)是同一函数；选项B中，g(x)＝3x3＝x，则f(x)与g(x)是同一函数；选项C中，函数f(x)＝x2－4的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，函数g(x)＝x＋2?x－2的定义域为[2，＋∞)，则f(x)与g(x)不是同一函数；选项D中，f(x)＝|x＋1|＝x＋1，x≥－1，－x－1，x<－1，则f(x)与g(x)是同一函数．故选C.
2．已知反比例函数y＝f(x)．若f(1)＝2，则f(3)＝( )
A．1?
B.23?
C.13?
D．－1
答案 B
解析 设f(x)＝kx(k≠0)，由题意有2＝k，所以f(x)＝2x，故f(3)＝23.故选B.
3．如果函数f(x)＝ln
(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，则实数a的值为( )
A．－2?
B．－1?
C．1?
D．2
答案 D
解析 由－2x＋a>0得x1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )
A．－74?
B．－54
C．－34?
D．－14
答案 A
解析 当a≤1时不符合题意，所以a>1，即－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－74.
7．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝x10
???
?B．y＝x＋310
C．y＝x＋410
???
?D．y＝x＋510
答案 B
解析 根据规定可知，当各班人数除以10的余数分别为7,8,9时可以增选一名代表，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为y＝x＋310.
8．函数f(x)＝ln
(x＋1)＋(x－2)0的定义域为________．
答案 (－1,2)
∪(2，＋∞)
解析 由x＋1>0，x－2≠0，得x>－1且x≠2，
所以函数f(x)的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．
9．设函数f(x)满足f1－x1＋x＝1＋x，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝21＋x
解析 令t＝1－x1＋x＝21＋x－1≠－1，
则x＝21＋t－1，所以f1－x1＋x＝1＋x可化为f(t)＝1＋21＋t－1＝21＋t，所以f(x)＝21＋x.
10．已知f(x)＝12x＋1，x≤0，－?x－1?2，x>0，使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
答案 [－4,2]
解析 解法一：由题意知x≤0，12x＋1≥－1
或x>0，－?x－1?2≥－1.
解得－4≤x≤0或0解法二：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝f(x)＝12x＋1，x≤0，－?x－1?2，x>0与y＝－1的图象．
如图所示，其交点分别为(－4，－1)，(2，－1)．
?
由图象知满足f(x)≥－1的x的取值范围是[－4,2]．
B组 能力关
1．(2019?大同模拟)具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－1x；②y＝ln
1－x1＋x；③y＝x，01.
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①②?
B．①③?
C．②③?
D．①
答案 B
解析 对于①，f(x)＝x－1x，f1x＝1x－x＝－f(x)，满足题意；对于②，f(x)＝ln
1－x1＋x，则f1x＝ln
x－1x＋1≠－f(x)，不满足；对于③，f1x＝1x，0<1x<1，0，1x＝1，－x，1x>1，即f1x＝1x，x>1，0，x＝1，－x，02．(2018?全国卷
Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x>0，则满足f(x＋1)A．(－∞，－1]
???
?B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
???
?D．(－∞，0)
答案 D
?
解析 将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知2x<0，2x3．(2018?惠州调研)若函数y＝f(2x)的定义域为12，2，则y＝f(log2x)的定义域为________．
答案 [2
2，16]
解析 由已知得，x∈12，2时，2x∈[2，4]，函数y＝f(x)的定义域为[2，4]．
由2≤log2x≤4，得2
2≤x≤16，所以y＝f(log2x)的定义域为[2
2，16]．
4．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意可知
c＝0，a?x＋1?2＋b?x＋1?＋c＝ax2＋bx＋c＋x＋1，
整理得
c＝0，ax2＋?2a＋b?x＋a＋b＋c＝ax2＋?b＋1?x＋c＋1，∴2a＋b＝b＋1，a≠0，a＋b＋c＝c＋1，c＝0，解得a＝12，b＝12，c＝0.∴f(x)＝12x2＋12x.
(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝12(x2－2)2＋12(x2－2)＝12(x4－3x2＋2)＝12x2－322－18，当x2＝32时，y取最小值－18，故函数y＝f(x2－2)的值域为－18，＋∞.
5．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x(吨)，3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解 (1)当甲的用水量不超过4吨，即5x≤4时，
乙的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8；
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，y＝24x－9.6，
所以y＝14.4x，0≤x≤45，20.4x－4.8，4543.
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增，
当x
∈0，45时，y≤f45<26.4；
当x∈45，43时，y≤f43<26.4；
当x∈43，＋∞时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，
所交水费为y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，所交水费y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
2020版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形练习（理科共8套）第3章
三角函数、解三角形
第1讲
A组 基础关
1.集合{αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
?
答案 C
解析 当k＝2n(n
∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时上式表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋5π4≤α≤2nπ＋3π2，此时上式表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样.
2.下列各选项中正确的是( )
A.sin300°>0
???
?B．cos(－305°)<0
C.tan－22π3>0
???
?D．sin10<0
答案 D
解析 因为300°＝360°－60°，
所以300°是第四象限角，故sin300°<0；
因为－305°＝－360°＋55°，
所以－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；
因为－22π3＝－8π＋2π3
所以－22π3是第二象限角，故tan－22π3<0.
因为3π<10<7π2，
所以10是第三象限角，
所以sin10<0.
3.若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是( )
A.sinα???
?B．cosαC.sinα???
?D．tanα答案 C
解析 作出α的正弦线M
P，余弦线OM和正切线AT，如图所示．由图可知MP8.－2019°角是第________象限角，与－2019°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．
答案 二 141° －219°
解析 因为－2019°＝－6×360°＋141°，所以－2019°角的终边与141°角的终边相同．所以－2019°角是第二象限角，与－2019°角终边相同的最小正角是141°.又141°－360°＝－21
9°，故与－2019°角终边相同的最大负角是－219°.
9.(2018?北京通州区一模)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点12，y，则sinα＝________.
答案 －32
解析 ∵角α以Ox为始边，终边位于第四象限，且与单位圆交于点12，y，∴y＝－1－122＝－32，∴sinα＝y＝－32.
10.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是________．
答案 (－2,3]
解析 ∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－2sinβ，那么下列命题成立的是( )
A.若α，β是第一象限的角，则cosα>cosβ
B.若α，β是第二象限的角，则tanα>tanβ
C.若α，β是第三象限的角，则cosα>cosβ
D.若α，β是第四象限的角，则tanα>tanβ
答案 D
解析 由三角函数线可知选D.
?
4.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统
总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为2π3，弦长为403
m的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为________平方米．(其中π≈3，3≈1.73)( )
A.15?
B．16?
C．17?
D．18
答案 B
解析 因为圆心角为2π3，弦长为403
m，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12×(403×20＋20×20)＝4003＋200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402－12×20×403＝1600π3－4003，因此两者之差为1600π3－4003－(4003＋200)≈16.
5.已知角α的终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，则sinα＋1tanα的值是________．
答案 －66＋5或－66－5
解析
∵P(x，－2)(x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝x2＋2.
又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x.
∵x≠0，∴x＝±10.
∴r＝23.
当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，
由三角函数的定义，有
sinα＝－223＝－66，1tanα＝10－2＝－5，
∴sinα＋1tanα＝－66－5.
当x＝－10时，同理可求得
sinα＋1tanα＝－66＋5.
6.已知圆O与直线l′相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l′向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．
?
答案 S1＝S2
解析 如图所示，因为直线l′与圆O相切，所以OA
⊥AP，设AQ︵的长为l，
?
所以S扇形AOQ＝12?l?r＝12?l?OA，
S△AOP＝12?OA?AP，
因为l＝AP，
所以S扇形AOQ＝S△AOP，
即S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，
所以S1＝S2.
2020版高考数学一轮复习第4章平面向量练习（理科共3套）第4章
平面向量
第1讲
A组 基础关
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反
???
?B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a|
???
?D．|－λa|≥|λ|a
答案 B
解析 因为λ≠0，所以λ2>0，所以λ2a与a方向相同，故B正确；A错误，当λ>0时，a与λa方向相同；C错误，当|λ|∈(0,1)时，|－λa|<|a|；D错误，|－λa|是实数，|λ|a是向量，不能比大小．
2．下列四项中不能化简为AD→的是( )
A.MB→＋AD→－BM→
B．(MB→＋AD→)＋(BC→＋CM→)
C．(AB→＋CD→)＋BC→
D.OC→－OA→＋CD→
答案 A
解析 A不能，MB→＋AD→－BM→＝MB→＋MB→＋AD→＝2MB→＋AD→；
B能，(MB→＋AD→)＋(BC→＋CM→)＝MB→＋AD→＋BM→＝MB→＋BM→＋AD→＝AD→；
C能，(AB→＋CD→)＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AD→；
D能，OC→－OA→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.
3．(2018?威海模拟)设a，b不共线，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( )
A．－2?
B．－1?
C．1?
D．2
答案 B
解析 BD→＝BC→＋CD→＝(a＋b)＋(a－2b)＝2a－b.
若A，B，D三点共线，则AB→∥BD→，所以存在实数λ，使AB→＝λBD→，即2a＋pb＝λ(2a－b)．
又因为a，b不共线，所以2λ＝2，－λ＝p，解得p＝－1.
4．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP→＝2OA→＋BA→，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
答案 B
解析 因为2OP→＝2OA→＋BA→，所以2AP→＝BA→，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则AP→＝( )
A．λ(AB→＋AD→)，λ∈(0,1)
B．λ(AB→＋BC→)，λ∈0，22
C．λ(AB→－AD→)，λ∈(0,1)
D．λ(AB→－BC→)，λ∈0，22
答案 A
解析 根据向量的平行四边形法则，得AC→＝AB→＋AD→.因为点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，所以AP→与AC→共线，所以AP→＝λAC→＝λ(AB→＋AD→)，λ∈(0,1)，故选A.
6．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC→＝3EC→，F为AE的中点，则BF→＝( )
?
A.23AB→－13AD→
???
?B.13AB→－23AD→
C．－23AB→＋13AD→
???
?D．－13AB→＋23AD→
答案 C
解析 BF→＝BA→＋AF→＝BA→＋12AE→
＝－AB→＋12AD→＋12AB→＋CE→
＝－AB→＋12AD→＋12AB→＋13CB→
＝－AB→＋12AD→＋14AB→＋16(CD→＋DA→＋AB→)
＝－23AB→＋13AD→.
7．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA→＋OB→＋2OC→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A．3?
B．4?
C．5?
D．6
答案 B
解析 ∵D为AB的中点，
?
则OD→＝12(OA→＋OB→)，
又OA→＋OB→＋2OC→＝0，
∴OD→＝－OC→，∴O为CD的中点．
又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，
则S△ABCS△AOC＝4.
8．给出下列四个命题：
①若a＋b与a－b是共线向量，则a与b也是共线向量；
②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量；
③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b是共线向量；
④若||a|－|b||＝|a|＋|b|，则b与任何向量都共线．
其中为真命题的有________(填上序号)．
答案 ①②③
解析 ①由向量的平行四边形法则可知，若a＋b与a－b是共线向量，则必有a与b也是共线向量，所以①是真命题；②若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b同向，或b是零向量，或a，b均为零向量，所以a与b是共线向量，所以②是真命题；③若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b方向相反，或a，b中至少有一个零向量，所以a与b是共线向量，所以③是真命题；④当a是零向量，b是非零向量时，||a|－|b||＝|a|＋|b|成立，而b不能与任何向量都共线，所以④是假命题．
9．(2019?青岛质检)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC→＝a，CA→＝b，给出下列命题：
①AD→＝12a－b；②BE→＝a＋12b；③CF→＝－12a＋12b；④AD→＋BE→＋CF→＝0.
其中正确命题的序号为________．
答案 ②③④
解析 AD→＝CD→－CA→＝－12BC→－CA→＝－12a－b，所以①错误；BE→＝BC→＋CE→＝BC→＋12CA→＝a＋12b，故②正确；CF→＝12(CA→＋CB→)＝12(b－a)＝－12a＋12b，故③正确；综上知AD→＋BE→＋CF→＝?－12a－b)＋a＋12b＋－12a＋12b＝0，故④正确．
10．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ＝________.
答案 －12
解析 由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有λ＝k，2λk－k＝1，
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.
又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－12.
B组 能力关
1．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且OA→＋OB→－OC→＝0，则△ABC的内角A等于( )
A．30°?
B．60°?
C．90°?
D．120°
答案 A
?
解析 因为OA→＋OB→－OC→＝0，
所以OC→＝OA→＋OB→.
所以四边形OACB是平行四边形，
又因为|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，
所以四边形OACB是菱形，△OAC是等边三角形．所以∠BAC＝12∠OAC＝30°.
2．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是( )
A.0，12
???
?B.0，13
C.－12，0
???
?D.－13，0
答案 D
解析 设CO→＝yBC→，
∵AO→＝AC→＋CO→＝AC→＋yBC→＝AC→＋y(AC→－AB→)
＝－yAB→＋(1＋y)AC→.
∵BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
∴y∈0，13，
∵AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，
∴x＝－y，∴x∈－13，0.
3．设D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DC→＝2BD→，CE→＝2EA→，AF→＝2FB→，则AD→＋BE→＋CF→与BC→( )
A．反向平行?
B．同向平行
C．互相垂直?
D．既不平行也不垂直
答案 A
解析 因为DC→＝2BD→，所以BD→＝13BC→，则AD→＝BD→－BA→＝13BC→－BA→，同理BE→＝13BC→＋23BA→，CF→＝13BA→－BC→，则AD→＋BE→＋CF→＝－13BC→，即AD→＋BE→＋CF→与BC→反向平行，故选A.
4．如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线于K，其中，AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，AK→＝λAC→，则λ的值为( )
?
A.29?
B.27?
C.25?
D.23
答案 A
解析 因为AE→＝25AB→，AF→＝12AD→，
则AB→＝52AE→，AD→＝2AF→，
由向量加法的平行四边形法则可知AC→＝AB→＋AD→，
所以AK→＝λAC→＝λ(AB→＋AD→)＝λ52AE→＋2AF→＝52λAE→＋2λAF→，由E，F，K三点共线可得52λ＋2λ＝1，所以λ＝29.
5．(2018?南宁模拟)已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a
∥b，则mn＝________.
答案 －2
解析 ∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则λn＝m，－λ＝2，故mn＝－2.
6．已知点M是△ABC所在平面内的一点，若点M满足|λAM→－AB→－AC→|＝0且S△ABC＝3S△ABM，则实数λ＝________.
答案 ±3
解析 如图，设D为BC的中点，
?
则AB→＋AC→＝2AD→，
因为|λAM→－AB→－AC→|＝0，
所以λAM→－AB→－AC→＝0，
所以λAM→＝AB→＋AC→＝2AD→.
于是A，M，D三点共线，且|AM→||AD→|＝2|λ|，
又S△ABC＝3S△ABM，所以S△ABMS△ABC＝13.
又因为S△ABD＝12S△ABC，
且S△ABMS△ABD＝|AM→||AD→|＝2|λ|，
所以13＝S△ABM2S△ABD＝12×2|λ|，解得λ＝±3.
2020版高考数学一轮复习第5章数列练习（理科共4套）
第5章
数列
第1讲
A组 基础关
1．如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为( )
?
A．5n－1
???
?B．6n
C．5n＋1
???
?D．4n＋2
答案 C
解析 第一个图形是六边形，即a1＝6，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，所以a2＝6＋5＝11，a3＝11＋5＝16，观察可得选项C满足此条件．
2．(2019?葫芦岛质检)数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )
A．－1617?
B．－1819?
C．－2021?
D．－2223
答案 C
解析 观察前4项可知，此数列的一个通项公式为
an＝(－1)n＋12n2n＋1，所以a10＝－2021.
3．(2018?湘潭一中、长沙一中联考)已知数列{an}满足：?m，n∈N*，都有an?am＝an＋m，且a1＝12，那么a5＝( )
A.132?
B.116?
C.14?
D.12
答案 A
解析 因为?m，n∈N*，都有an?am＝an＋m，且a1＝12，所以a2＝a1?a1＝14，a3＝a1?a2＝18，a5＝a3?a2＝132.
4．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．103?
B．10818?
C．10318?
D．108
答案 D
解析 an＝－2n2＋29n＋3＝－2n2－292n＋3
＝－2n－2942＋3＋29×298.
结合二次函数的性质可得此数列的最大项为a7＝108.
5．(2018?安徽江南十校联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为( )
A．100?
B．110?
C．120?
D．130
答案 C
解析 {an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.
6．(2018?江西期末)定义np1＋p2＋…＋pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为15n，又bn＝an5.则b10等于( )
A．15?
B．17?
C．19?
D．21
答案 C
解析 由na1＋a2＋…＋an＝15n得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝5n2，则Sn－1＝5(n－1)2(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝10n－5(n≥2)，当n＝1时，a1＝5也满足．故an＝10n－5，bn＝2n－1，b10＝2×10－1＝19.故选C.
7．(2018?安徽皖江名校联考)已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝an－1an＋1，数列{an}的前n项的和为Sn则S2018为( )
A．504?
B.17713?
C．－17573?
D．－504
答案 C
解析 ∵a1＝2，an＋1＝an－1an＋1，∴a2＝13，a3＝－12，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－76，
∵2018÷4＝504余2，∴S2018＝504×－76＋2＋13＝－17573.故选C.
8．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝a1?4n－1?3，若a4＝32，则a1＝________.
答案 12
解析 ∵Sn＝a1?4n－1?3，a4＝32，∴255a13－63a13＝32，
∴a1＝12.
9．(2018?陕西商洛期中)在数列{an}中，已知an＝(－1)n＋n＋a(a为常数)，且a1＋a4＝3a2，则a100＝________.
答案 97
解析 由题意，得a1＝a，a4＝5＋a，a2＝3＋a.
因为a1＋a4＝3a2，
所以a＋5＋a＝3(3＋a)，
解得a＝－4，
所以an＝(－1)n＋n－4，
所以a100＝(－1)100＋100－4＝97.
10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin?n＋1?π2，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝________.
答案 1010
解析 由题意得a2＝a1＋sinπ＝1，
a3＝a2＋sin3π2＝1－1＝0.
a4＝a3＋sin2π＝0＋0＝0，
a5＝a4＋sin5π2＝0＋1＝1，
所以a5＝a1，
可以判断an＋4＝an，
数列{an}是一个以4为周期的数列，
2018＝4×504＋2，
所以S2018＝504×(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝504×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1010.
B组 能力关
1．(2018?广东中山一中月考)已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则89是该数列的( )
A．第127项?
B．第128项
C．第129项?
D．第130项
答案 B
解析 将该数列的第一项1写成11，再将该数列分组，第一组1项：11；第二组2项：12，21；第三组3项：13，22，31；第四组4项：14，23，32，41，…，容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此89应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得89是该数列的第128项．
2．已知数列{an}满足an＝?5－a?n－11，n≤5，an－4，n>5，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
A．(1,5)?
B.73，5?
C.73，5?
D．(2,5)
答案 D
解析 由题意得5－a>0，a>1，5?5－a?－110，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝1－4an(n∈N*)，定义所有满足cm?cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．
解 (1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，
所以a＝0或a＝4.
又由a>0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以Sn＝n2－4n＋4.
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
所以an＝1，n＝1，2n－5，n≥2.
(2)由题意得cn＝－3，n＝1，1－42n－5，n≥2.
由cn＝1－42n－5可知，当n≥5时，恒有cn>0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－13，c5＝15，c6＝37，即c1?c2<0，c2?c3<0，c4?c5<0，所以数列{cn}的变号数为3.
5．(2018?银川模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
解 (1)因为f(x)＝2x－12x，f(log2an)＝－2n，所以an－1an＝－2n，所以a2n＋2nan－1＝0，解得an＝－n±n2＋1，
因为an>0，所以an＝n2＋1－n，n
∈N*.
(2)证明：an＋1an＝?n＋1?2＋1－?n＋1?n2＋1－n
＝n2＋1＋n?n＋1?2＋1＋?n＋1?<1，
因为an>0，所以an＋1b|b|，则下列不等式一定成立的是( )
?
答案 A
解析
?
3．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A.－3π2，3π2
???
?B.－3π2，0
C.0，3π2
???
?D.－π2，0
答案 B
解析
∵－π2<α<π，－π2<β<π，
∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.
又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.
4．设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B
???
?B．A≥B
C．A???
?D．A>B
答案 B
解析 因为a，b∈[0，＋∞)，所以A＝a＋b>0，B＝a＋b>0，所以A2－B2＝a＋b＋2ab－(a＋b)＝2ab≥0，所以A2≥B2，所以A≥B.
5．(2018?广东清远一中一模)关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)
∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－1,3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax＜b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b＜0，∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，∴所求解集是(－1,3)．故选C.
6．设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)?
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)?
D．(－∞，－3)∪(1,3)
答案 A
解析 由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为x<0，x＋6>3
或x≥0，x2－4x＋6>3，解得－33，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.
7．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x－12A．{x|2≤x≤3}
B．{x|x≤2或x≥3}
C．{x13≤x≤12
D．{xx≤13或x≥12
答案 B
解析
∵不等式ax2－bx－1>0的解集是{x－12∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－12和x2＝－13，且a<0，
∴－12－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，
解得x≤2或x≥3.
8．已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－3，＋∞)
解析 对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立．
等价于x2＋2x＋a>0，即a>－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝－(x＋1)2＋1，则g(x)在[1，＋∞)上递减，所以g(x)max＝g(1)＝－3，所以a>－3.
9．若存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x2≥a成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，1]
解析 设f(x)＝2x－x2，则当x∈[－2,3]时，f(x)＝－(x－1)2＋1∈[－8,1]，因为存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x2≥a成立，所以a≤f(x)max，所以a≤1.
10．设不等式mx2－2x－m＋1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，则x的取值范围是________．
答案 －1＋72，1＋32
解析 记f(m)＝mx2－2x－m＋1＝(x2－1)m＋1－2x(|m|≤2)，则f(m)<0恒成立等价于
f?－2?＝－2x2－2x＋3<0，f?2?＝2x2－2x－1<0，解得－1＋72B组 能力关
1．设常数a
∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( )
A．(－∞，2)?
B．(－∞，2]
C．(2，＋∞)?
D．[2，＋∞)
答案 B
解析 ①当a≥1时，A＝{x|x≤1或x≥a}，
因为B＝{x|x≥a－1}，A∪B＝R，
所以a－1≤1，即1≤a≤2.
②当a<1时，A＝{x|x≤a或x≥1}，因为B＝{x|x≥a－1}，故A∪B＝R成立，综上知，a的取值范围是(－∞，2]．
2．关于x的不等式x2－ax＋a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是( )
A．a<0或a>4
???
?B．00(a∈R)在R上恒成立，则Δ＝a2－4a<0，解得01时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即14．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元，则t的取值范围是( )
A．[1,3]?
B．[3,5]?
C．[5,7]?
D．[7,9]
答案 B
解析 由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20－52t万亩，则税收收入为20－52t×24000×t%万元，由题意有20－52t×24000×t%≥9000，整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5，
∴当耕地占用税税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9000万元．∴t的取值范围是3≤t≤5，故选B.
5．设函数f(x)＝x2＋x，x<0，－x2，x≥0，若f[f(a)]≤2，则实数a的取值范围是________．
答案 a≤
2
解析 由题意得f?a?<0，f2?a?＋f?a?≤2或f?a?≥0，－f2?a?≤2，
解得f(a)≥－2.
由a<0，a2＋a≥－2或a≥0，－a2≥－2，解得a≤
2.
6．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y
∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．
答案 [－8,4]
解析 因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
2020版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语练习（理科共3套）共六章 本文关键词：理科，用语，复习，逻辑，集合
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